व्यास \(2\) mm की एक द्रव बूंद \(512\) बूंदिकाओं में टूट जाती है। पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन \(\alpha \times 10^{-6}\) J है। \(\alpha\) का मान _______ है। (द्रव का पृष्ठ तनाव \(= 0.08\) N/m लीजिए)

मान लीजिए कि प्रारंभिक बूंद की त्रिज्या \(R\) है और प्रत्येक छोटी बूंदिका की त्रिज्या \(r\) है।

दिया गया व्यास \(D = 2\) mm है, इसलिए \(R = 1\) mm \(= 10^{-3}\) m।

आयतन संरक्षण के सिद्धांत से:

\(\dfrac{4}{3}\pi R^3 = 512 \times \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

\(R^3 = 512 r^3 \Rightarrow R = 8r \Rightarrow r = \dfrac{R}{8}\)

प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल, \(A_i = 4\pi R^2\)

अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल, \(A_f = 512 \times 4\pi r^2 = 512 \times 4\pi \left(\dfrac{R}{8}\right)^2 = 32\pi R^2\)

पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन, \(\Delta A = A_f - A_i = 32\pi R^2 - 4\pi R^2 = 28\pi R^2\)

पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन, \(\Delta U = T \Delta A\)

\(\Delta U = 0.08 \times 28\pi R^2\)

\(R = 10^{-3}\) m और \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) प्रतिस्थापित करने पर:

\(\Delta U = 0.08 \times 28 \times \dfrac{22}{7} \times (10^{-3})^2\)

\(\Delta U = 0.08 \times 4 \times 22 \times 10^{-6}\)

\(\Delta U = 7.04 \times 10^{-6}\) J

\(\alpha \times 10^{-6}\) J से तुलना करने पर, हमें \(\alpha \approx 7\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(7\)