5 cm फोकस दूरी के एक पतले उत्तल लेंस और 4 cm फोकस दूरी के एक पतले अवतल लेंस को एक-दूसरे से सटाकर रखा जाता है और इस संयोजन का आवर्धन \( m_{1} \) होता है, जब वस्तु को उत्तल लेंस के सामने 10 cm पर रखा जाता है। उत्तल लेंस और वस्तु की स्थितियों को अपरिवर्तित रखते हुए, अवतल लेंस को दूर हटाकर लेंसों के बीच 1 cm का अंतराल रखा जाता है, जिससे कुल लेंस निकाय का आवर्धन \( m_{2} \) हो जाता है।
\(\left|\frac{m_1}{m_2}\right|\) का मान __________ है।

Explanation:
आवर्धन के परिमाणों का अनुपात ज्ञात करने के लिए हम दोनों स्थितियों का क्रमिक विश्लेषण करते हैं:

स्थिति 1: जब दोनों लेंस परस्पर संपर्क में हैं (\( d = 0 \))
1. संयोजन की संयुक्त फोकस दूरी:
उत्तल लेंस की फोकस दूरी \( f_1 = +5\text{ cm} \) तथा अवतल लेंस की फोकस दूरी \( f_2 = -4\text{ cm} \) है। संपर्क में रखे दो पतले लेंसों की संयुक्त फोकस दूरी (\( F \)) का सूत्र है:
\( \frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \)
\( \frac{1}{F} = \frac{1}{5} + \frac{1}{-4} = \frac{4 - 5}{20} = -\frac{1}{20} \implies F = -20\text{ cm} \)

2. प्रतिबिम्ब की दूरी तथा आवर्धन (\( m_1 \)):
वस्तु की दूरी \( u = -10\text{ cm} \) है। लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
\( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F} \)
\( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{3}{20} \implies v_1 = -\frac{20}{3}\text{ cm} \)
इस स्थिति के लिए रैखिक आवर्धन \( m_1 \) निम्नलिखित होगा:
\( m_1 = \frac{v_1}{u} = \frac{-20/3}{-10} = \frac{2}{3} \)

स्थिति 2: जब लेंसों के मध्य की दूरी (\( d = 1\text{ cm} \)) हो जाती है
1. प्रथम लेंस (उत्तल लेंस) द्वारा अपवर्तन:
उत्तल लेंस के लिए, वस्तु की दूरी \( u_1 = -10\text{ cm} \) तथा \( f_1 = +5\text{ cm} \) है:
\( \frac{1}{v'_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \)
\( \frac{1}{v'_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v'_1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \implies v'_1 = +10\text{ cm} \)
प्रथम लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन:
\( m'_1 = \frac{v'_1}{u_1} = \frac{10}{-10} = -1 \)

2. द्वितीय लेंस (अवलत लेंस) द्वारा अपवर्तन:
उत्तल लेंस द्वारा \( 10\text{ cm} \) की दूरी पर बनाया गया वास्तविक प्रतिबिम्ब, अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु (virtual object) का कार्य करता है। चूंकि अवतल लेंस को \( 1\text{ cm} \) दूर खिसकाया गया है, इसलिए अवतल लेंस से इस आभासी वस्तु की दूरी (\( u_2 \)) होगी:
\( u_2 = +10\text{ cm} - 1\text{ cm} = +9\text{ cm} \)
अवलत लेंस की फोकस दूरी \( f_2 = -4\text{ cm} \) के लिए लेंस सूत्र का अनुप्रयोग करने पर:
\( \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \)
\( \frac{1}{v_2} - \frac{1}{9} = \frac{1}{-4} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 9}{36} = -\frac{5}{36} \implies v_2 = -\frac{36}{5}\text{ cm} \)
द्वितीय लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन:
\( m'_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-36/5}{9} = -\frac{4}{5} \)

3. कुल समग्र आवर्धन (\( m_2 \)):
प्रणाली का कुल आवर्धन दोनों लेंसों के आवर्धनों का गुणनफल होता है:
\( m_2 = m'_1 \times m'_2 = (-1) \times \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5} \)

अनुपात का मान ज्ञात करना:
दोनों आवर्धनों के मानों की तुलना करने पर:
\( \left|\frac{m_1}{m_2}\right| = \frac{2/3}{4/5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6} \)

अतः, विकल्प A सही उत्तर है।