5 cm કેન્દ્રલંબાઈવાળો પાતળો બહિર્ગોળ લેન્સ અને 4 cm કેન્દ્રલંબાઈવાળો પાતળો અંતર્ગોળ લેન્સ એકસાથે (કોઈપણ અંતર વગર) જોડવામાં આવે છે અને આ સંયોજનની મોટવણી \( m_{1} \) છે, જ્યારે એક વસ્તુને બહિર્ગોળ લેન્સથી 10 cm આગળ મૂકવામાં આવે છે. બહિર્ગોળ લેન્સ અને વસ્તુની સ્થિતિને યથાવત રાખીને, અંતર્ગોળ લેન્સને દૂર ખસેડીને લેન્સો વચ્ચે 1 cm નું અંતર દાખલ કરવામાં આવે છે, જેના કારણે કુલ લેન્સ પ્રણાલીની મોટવણી બદલાઈને \( m_{2} \) થાય છે.
\(\left|\frac{m_1}{m_2}\right|\) નું મૂલ્ય __________ છે.

સ્પષ્ટીકરણ:
તંત્રની બંને સ્થિતિઓનો વિગતવાર અભ્યાસ કરીને આપણે મોટવણીનો ગુણોત્તર મેળવી શકીએ છીએ:

સ્થિતિ 1: જ્યારે બંને લેન્સ સંતર્કમાં હોય ત્યારે (\( d = 0 \))
1. સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈની ગણતરી:
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ \( f_1 = +5\text{ cm} \) અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ \( f_2 = -4\text{ cm} \) છે. જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં હોય ત્યારે સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈ (\( F \)) નીચેના સૂત્રથી મળે છે:
\( \frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \)
\( \frac{1}{F} = \frac{1}{5} + \frac{1}{-4} = \frac{4 - 5}{20} = -\frac{1}{20} \implies F = -20\text{ cm} \)

2. પ્રતિબિંબ અંતર અને મોટવણી (\( m_1 \)):
વસ્તુ અંતર \( u = -10\text{ cm} \) આપેલ છે. લેન્સના સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
\( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F} \)
\( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{3}{20} \implies v_1 = -\frac{20}{3}\text{ cm} \)
આ સ્થિતિ માટે રેખીય મોટવણી \( m_1 \) નીચે મુજબ થશે:
\( m_1 = \frac{v_1}{u} = \frac{-20/3}{-10} = \frac{2}{3} \)

સ્થિતિ 2: જ્યારે બંને લેન્સ વચ્ચે અંતર (\( d = 1\text{ cm} \)) રાખવામાં આવે ત્યારે
1. પ્રથમ લેન્સ (બહિર્ગોળ લેન્સ) દ્વારા વક્રીભવન:
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વસ્તુ અંતર \( u_1 = -10\text{ cm} \) અને કેન્દ્રલંબાઈ \( f_1 = +5\text{ cm} \) છે:
\( \frac{1}{v'_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \)
\( \frac{1}{v'_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v'_1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \implies v'_1 = +10\text{ cm} \)
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી:
\( m'_1 = \frac{v'_1}{u_1} = \frac{10}{-10} = -1 \)

2. દ્વિતીય લેન્સ (અંતર્ગોળ લેન્સ) દ્વારા વક્રીભવન:
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા \( 10\text{ cm} \) અંતરે બનેલું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ, અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ (virtual object) તરીકે વર્તે છે. અંતર્ગોળ લેન્સને બહિર્ગોળ લેન્સથી \( 1\text{ cm} \) દૂર ખસેડવામાં આવ્યો હોવાથી, અંતર્ગોળ લેન્સથી આભાસી વસ્તુનું અંતર (\( u_2 \)) થશે:
\( u_2 = +10\text{ cm} - 1\text{ cm} = +9\text{ cm} \)
હવે અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ \( f_2 = -4\text{ cm} \) માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
\( \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \)
\( \frac{1}{v_2} - \frac{1}{9} = \frac{1}{-4} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 9}{36} = -\frac{5}{36} \implies v_2 = -\frac{36}{5}\text{ cm} \)
બીજા લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી:
\( m'_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-36/5}{9} = -\frac{4}{5} \)

3. કુલ મોટવણી (\( m_2 \)):
તંત્રની કુલ મોટવણી બંને લેન્સની અલગ-અલગ મોટવણીના ગુણાકાર બરાબર થાય:
\( m_2 = m'_1 \times m'_2 = (-1) \times \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5} \)

મોટવણીનો ગુણોત્તર મેળવવો:
હવે, બંને મોટવણીના મૂલ્યોની સરખામણી કરતાં:
\( \left|\frac{m_1}{m_2}\right| = \frac{2/3}{4/5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6} \)

આથી, સાચો જવાબ વિકલ્પ A છે.