यदि समीकरण निकाय \(x+y+a z=b\) \(2 x+5 y+2 z=6\) \(x+2 y+3 z=3\) के अनंत हल हैं। तब \(2 a+3 b\) बराबर है

यदि \(\left(\sqrt{\frac{1}{x^{1+\log _{10} x}}}+x^{\frac{1}{12}}\right)^{6}\) के द्विपद प्रसार का चौथा पद \(200\) है तथा \(x>1\) है, तो \(x\) का मान है 

तीन समांतर श्रेणियों \(3,7,11,15, \ldots \ldots . . . ., 399\), \(2,5,8,11, \ldots \ldots \ldots \ldots . ., 359\) तथा \(2,7,12,17, \ldots \ldots . ., 197\), के उभ्यनिष्ठ पदों का योग है ____________I

एक दीर्घवत्त, \(E : \frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1, a ^{2}> b ^{2}\), बिन्दु \(\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)\) से होकर जाता है तथा उसकी उत्केन्द्रता \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। यदि एक वत्त जिसका केन्द्र \(E\) की नाभि \(F (\alpha, 0), \alpha>0\) पर और त्रिज्या \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) है, दीर्घवत्त \(E\) को दो बिन्दुओं \(P\) तथा \(Q\) पर काटता है, तो \(PQ ^{2}\) बराबर है

माना समतलों \(x +2 y + z =6\) तथा \(y +2 z =4\) के प्रतिच्छेदन से प्राप्त रेखा \(L\) है। यदि \((3,2,1)\) से रेखा \(L\) पर लम्ब का पाद बिंदु \(P (\alpha, \beta, \gamma)\) है, तो \(21(\alpha+\beta+\gamma)\) का मान बराबर है

यदि \((x+y)^{\mathrm{n}}\) के प्रसार में दूसरा, तीसरा और चौथा पद क्रमशः \(135\),\(30\) और \(\frac{10}{3}\) हैं, तो \(6\left(n^3+x^2+y\right)\) = ...........

माना \(A\) उन सभी बिंदुओं \((\alpha, \beta)\), जिनके लिए बिंदुओं \((5,6),(3,2)\) तथा \((\alpha, \beta)\) द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल \(12\) वर्ग इकाई है। तो मूल बिंदू को \(A\) में एक बिंदू से मिलाने वाले रेखाखण्ड की निम्नतम संभव लंबाई है

मान लीजिए कि \(y = y(x)\) अवकल समीकरण \((1 + \sin x)\dfrac{dy}{dx} + (y+1)\cos x = 0\), \(y(0) = 0\) का हल वक्र है। यदि वक्र \(y = y(x)\) बिंदु \(\left(\alpha, \dfrac{-1}{2}\right)\) से होकर गुजरता है, तो \(\alpha\) का एक मान है :

माना \(\vec{a}=\hat{i}-\alpha \hat{j}+\beta \hat{k}, \quad \vec{b}=3 \hat{i}+\beta \hat{j}-\alpha \hat{k}\) तथा \(\overrightarrow{ c }=-\alpha \hat{ i }-2 \hat{ j }+\hat{ k }\) हैं, जहोँ \(\alpha\) तथा \(\beta\) पूर्णांक है। यदि \(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }=-1\) तथा \(\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }=10\) हैं, तो \((\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }) \cdot \overrightarrow{ c }\) बराबर है

यदि एक समतल \(P\), तीन बिन्दुओं \((2,1,0),(4,1,1)\) और \((5,0,1)\) से होकर जाता है, तथा कोई और बिन्दु \(R(2,1,6)\) है, तो समतल \(P\) में \(R\) का प्रतिबिम्ब (image) है

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

माना \(f ( x )=\left\{\begin{array}{ll}\max \left\{| x |, x ^{2}\right\}, & | x | \leq 2 \\ 8-2| x |, & 2< x \mid \leq 4\end{array}\right.\) माना \(S\), अन्तराल \((-4,4)\) के उन बिन्दुओं, जिन पर \(f\) अवकलनीय नहीं है, का समुच्चय है, तो \(S\)

एक समतल \(P\), दो रेखाओं, जिनके दिक् अनुपात \(-2,1,-3\) तथा \(-1,2,-2\) हैं, के समांतर है तथा बिंदु \((2,2,-2)\) समतल \(P\) पर है। माना \(P\) निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं \(A , B , C\) पर काटता है तथा अंतःखंड \(\alpha, \beta, \gamma\) बनाता है। यदि चतुष्फलक \(OABC\) का आयतन \(V\) है, जहाँ \(O\) मूल बिंदु है, तथा \(p =\alpha+\beta+\gamma\) है, तो क्रमित युग्म \(( V , p )\) बराबर है