पूर्णांक \(a \in[-5,30]\) चुनने की प्रायिकता, जबकि \(x ^{2}+2( a +4) x -5 a +64>0, \forall x \in R\) है

यदि \(y ^{2}+\log _{ e }\left(\cos ^{2} x \right)= y , x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) है, तो

एक अनभिनत (unbiased) सिक्के को आठ बार उछाला जाता है, तो कम से कम एक चित्त तथा कम से कम एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

यदि \(0 \le x \le \pi \) तब \({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\) है, तो \(x\) का मान है

यदि \(\left(\frac{\mathrm{x}^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{\mathrm{x}^{\ell}}\right)^9\) के द्विपद प्रसार में अचर पद \(-84\) है तथा \(\mathrm{x}^{-3 \ell}\) का गुणांक \(2^\alpha \beta\) है, जहाँ \(\beta<0\) एक विषम संख्या है, तो \(|\alpha \ell-\beta|\) बराबर है______________. 

यदि \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos ^2 x}{\left(1+e^x\right)} \mathrm{d} x=\pi\left(\alpha \pi^2+\beta\right), \alpha, \beta \in \mathbb{Z}\) है, तो \((\alpha+\beta)^2\) का मान कितना है?

समुच्चय \(\{1,2,3,4,5\}\) से दो यादच्छिक चुने गए उपसमुच्चयों के सर्वनिष्ठ में ठीक दो अवयव होने की प्रायिकता है 

माना तीन सदिशों \(\overrightarrow{ a }=\hat{ i }+5 \hat{ j }+\alpha \hat{ k }\), \(\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}+\beta \hat{k}\) तथा \(\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\) के लिए \(|\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }|=5 \sqrt{3}\) है तथा सदिश \(\overrightarrow{ a }\), सदिश \(\overrightarrow{ b }\) के लम्बवत् है। तो \(|\vec{a}|^{2}\) के मानों में अधिकतम मान है ........ |

यदि वास्तविक संख्या \(a>0\), जिसके खाते \(\mathrm{x}^2-5 \mathrm{ax}+1=0\) तथा \(\mathrm{x}^2-\mathrm{ax}-5=0\) का एक उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है, का मान \(\frac{3}{\sqrt{2 \beta}}\) है तब, \(\beta\) बराबर है.____________. 

माना \(S=\{x^{3}+ax^{2}+bx+c:a, b, c\in N\) और \(a, b, c\le 20\}\) बहुपदों का एक समुच्चय है। तो S में ऐसे बहुपदों की संख्या, जो \(x^{2}+2,\) से विभाज्य हैं, वह ___ है।

मान लीजिए कि \(f(x)\) एक धनात्मक फलन है तथा \(I_1=\int_{-\frac{1}{2}}^1 2 x f(2 x(1-2 x)) d x\) और \(I_2=\int_{-1}^2 f(x(1-x)) d x\). तो \(\frac{I_2}{I_1}\) = ___

समाकलन \(\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3+2 \sin x +\cos x} dx\) बराबर है: