\(\cot \left(\sum\limits_{n=1}^{50} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)\right)\) का मान है

माना [t] महत्तम पूर्णाक \(\leq t\) को दर्शाता है। यदि किसी \(\lambda \in\) \(R -\{0,1\}\) के लिए \(\lim _{ x \rightarrow 0}\left|\frac{1- x +| x |}{\lambda- x +[ x ]}\right|= L\) है, तो \(L\) का मान है -

समीकरण \(\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{4} \cos ^2 2 x\)\(,x \in[-3 \pi, 3 \pi]\) के हलों की संख्या होगी

क्षेत्र \(\left\{(x, y):|x-1| \leq y \leq \sqrt{5-x^2}\right\}\) का क्षेत्रफल बराबर है:

माना \(\quad \overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\alpha \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{c}}=\beta \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\), जहाँ \(\alpha\) और \(\beta\) पूर्णांक हैं और \(\alpha \beta=-6\)। क्रमित युग्म \((\alpha, \beta)\) के मान जिनके लिए विकर्णों \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{b}+\vec{c}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है, \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) और \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) हैं। तो \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2\) = ...........

नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन I : \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan ^{-1} x+\log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-2 x}{x^5}\right)=\frac{2}{5}\)
कथन II : \(\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 1}\left(\mathrm{x}^{\frac{2}{1-\mathrm{x}}}\right)=\frac{1}{\mathrm{e}^2}\)
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें :

\(x\) के उन सभी वास्तविक मानों का योग जो समीकरण \(\left(x^{2}-5 x+5\right)^{x^{2}+4 x-60}=1\) को संतुष्ट करते हैं, है:

यदि परवलय \(y^{2}=16 x\) की एक नाभिजीवा का एक छोर \((1,4)\) पर है, तो इस नाभिजीवा की लंबाई

यदि वक्र \(x=12(t+\sin t \cos t)\),\(y =12(1+\sin t )^2, 0 < t < \frac{\pi}{2}\) के बिन्दु \(\left( x _0, y _0\right)\)पर स्पर्श रेखा द्वारा, धनात्मक \(x\)-अक्ष के साथ बनाया गया कोण \(\frac{\pi}{3}\) हो तो \(y _0\) बराबर होगा-

यदि सभी \(x\) के लिए, \(f( a + b +1- x )=f( x )\) है, जबकि \(a\) तथा \(b\) स्थिर (fixed) धन वास्तविक संख्याएँ हैं, तो \(\frac{1}{ a + b } \int \limits_{ a }^{ b } x (f( x )+f( x +1)) dx\) बराबर है

मान लीजिए \(y=y(x)\) अवकल समीकरण \(\left(2 x \log _e x\right) \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{3}{x} \log _e x, x>0\) तथा \(y\left(e^{-1}\right)=0\) का हल है। तब, \(y(e)\) = ...........

रेखा \(4 x+5 y=20\) के प्रथम चतुर्थांश में स्थित भाग को मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ \(L _1\) और \(L _2\) त्रिभाजित करती हैं। रेखाओं \(L_1\) और \(L_2\) के बीच के कोण का \(tangent\) कितना है?

माना सदिशों \(\overrightarrow{ a }=2 \hat{ i }-\hat{ j }+\hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ b }=\hat{ i }+2 \hat{ j }-\hat{ k }\) के समतल में एक सदिश \(\overrightarrow{ x }\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{ x }\), सदिश \((3 \hat{ i }+2 \hat{ j }-\hat{ k })\) के लम्बवत है तथा इसका \(\overrightarrow{ a }\) पर प्रक्षेप \(\frac{17 \sqrt{6}}{2}\) है, तो \(|\overrightarrow{ x }|^{2}\) का मान बराबर है