क्षेत्र \(\left\{(x, y):|x-1| \leq y \leq \sqrt{5-x^2}\right\}\) का क्षेत्रफल बराबर है:

माना वक्र \(z(1+i)+\bar{z}(1-i)=4, z \in \mathrm{C}\), क्षेत्र \(|z-3| \leq 1\) को दो भागों में विभाजित करता है, जिनके क्षेत्रफल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। तो \(|\alpha-\beta|\) = __________

दो अशून्य सम्मिश्र संख्या \(\mathrm{z}_1\) तथा \(\mathrm{z}_2\) के लिये यदि \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1 \mathrm{z}_2\right)=0\) तथा \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1+\mathrm{z}_2\right)=0\) हो, तो निम्न में से कौनसा संभव है ? (\(A\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(B\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(C\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) (\(D\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) नीचे दिये गये विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए :

\(\theta\) का वह एक मान जिसके लिए \(\frac{2+3 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}\) पूर्णत: काल्पनिक
है, है:

समीकरण \(\tan^{-1}4x+\tan^{-1}6x=\frac{\pi}{6}\) के हलों की संख्या, जहाँ \(-\frac{1}{2\sqrt{6}}< x <\frac{1}{2\sqrt{6}}\) है, वह ___ है।

समाकल \(\int \frac{2 x^{12}+5 x^{9}}{\left(x^{5}+x^{3}+1\right)^{3}} d x\) बराबर है:

\(m\) के उन पूर्णांक मानों की संख्या, जिनके लिए समीकरण \(\left(1+ m ^{2}\right) x ^{2}-2(1+3 m ) x +(1+8 m )=0\) के कोई भी वास्तविक मूल नहीं है

\(x\) की घातों में \(\left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)^{6}\) के प्रसार में \(x^{4}\) का गुणांक है .............

माना \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) तीन मात्रक (unit) सदिश इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }=\overrightarrow{0}\). यदि \(\lambda=\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ a }\) तथा \(\overrightarrow{ d }=\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ b } \times \overrightarrow{ c }+\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ a }\), तो क्रमित युग्म \((\lambda, \overrightarrow{ d })\) बराबर हैं 

माना \(P(3\cos\alpha, 2\sin\alpha)\), जहाँ \(\alpha \neq 0\), दीर्घवृत्त \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) पर एक बिंदु है, \(Q\) वृत्त \(x^2+y^2-14x-14y+82=0\) पर एक बिंदु है और \(R\) रेखा \(x+y=5\) पर एक बिंदु है इस प्रकार कि त्रिभुज \(PQR\) का केंद्रक \(\left(2+\cos\alpha, 3+\dfrac{2}{3}\sin\alpha\right)\) है। तो, \(R\) के सभी संभावित बिंदुओं की कोटियों का योग है:

माना \(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) और \(\vec{c}\) तीन सदिश हैं इस प्रकार कि \(\vec{c}\), \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के साथ समतलीय है। यदि सदिश \(\vec{C}\), \(\vec{b}\) के लंबवत है और \(\vec{a} \cdot \vec{c}=5\) है, तो \(|\vec{c}|\) = ___

माना \(a , b , c , d\) एक समांतर श्रेढ़ी में है, जिसका सार्वअन्तर \(\lambda\) है। यदि \(\left|\begin{array}{lll} x + a - c & x + b & x + a \\ x -1 & x + c & x + b \\ x - b + d & x + d & x + c \end{array}\right|=2\) है, तो \(\lambda^{2}\) का मान बराबर है ......... |

माना \(a \neq b\) दो शून्येत्तर वास्तविक संख्याएँ है। तो समुच्चय \(X=\left\{z \in C: \operatorname{Re}\left(a z^2+b z\right)=a  \text { and }\operatorname{Re}\left(b z^2+ az \right)= b \right\}\) में अवयवों की संख्या है