मान लीजिए A और B क्रमशः द्विपद प्रसरण \((1+x)^{2 \mathrm{n}-1}\) में \(30^{\text {th }}\) और \(12^{\text {th }}\) पदों के गुणांक हैं। यदि \(2 \mathrm{~A}=5 \mathrm{~B}\) है, तो n = __________

एक दीर्घवृत \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) अतिपरवलय \(H: \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{64}=-1\) के शीर्षो से होकर जाता है। माना दीर्घवृत \(E\) के दीर्घ तथा लघु अक्ष क्रमशः अतिपरवलय \(H\) के अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्ष के सम्पाती हैं। माना \(E\) तथा \(H\) की उत्केन्द्रताओं का गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है। यदि दीर्घवृत \(E\) की नाभिलंब जीवा की लंबाई \(l\) है, तो \(113 l\) का मान है  \(...............\)

यादि कोई फलन \(f(x)\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a e^{x}+b e^{-x}, & -1 \leq x<1 \\ c x^{2}, & 1 \leq x \leq 3 \\ a x^{2}+2 c x, & 3 < x \leq 4\end{array}\right.\) कुछ \(a, b, c \in R\) के लिए सतत् है और \(f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)=e\), तो \(a\) का मान है

वक्रों \(C _1: \frac{ x ^2}{4}+\frac{ y ^2}{9}=1\) तथा \(C _2: \frac{ x ^2}{42}-\frac{ y ^2}{143}=1\) की एक ऊभयनिष्ठ स्पर्श रेखा \(T\) चतुर्थ चतुर्थाश से होकर नहीं जाती। यदि \(T\) वक्र \(C _1\) को \(\left( x _1, y _1\right)\) पर तथा वक्र \(C _2\) को \(\left( x _2, y _2\right)\) पर स्पर्श करती है, तो \(\left|2 x _1+ x _2\right|\) बराबर है \(..........\)

बिन्दु \((-1,9,-16)\) की समतल \(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-\mathrm{z}=5\) से रेखा \(\frac{\mathrm{x}+4}{3}=\frac{2-\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{z}-3}{12}\) के समांतर मापी दूरी है

माना [t] अधिकतम पूर्णांक \(\leq t\) तथा \(\{ t \}, t\) के भिन्नात्मक को दर्शाता है, तो \(\alpha\) का पूर्णांक मान, जिसके लिए \(x =0\) पर फलन \(f(x)=|1+x|+\frac{\alpha^{2[x]+\{x\}}+[x]-1}{2[x]+\{x\}}\) की बायीं सीमा \(\alpha-\frac{4}{3}\) है, होगा

यदि \(a \in R\) तथा समीकरण \(-3(x-[x])^{2}+2(x-[x])+a^{2}=0\) ( जहाँ \([x]\) उस बड़े से बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो \(\leq \, x\) है) का कोई पूर्णांकीय हल नहीं है, तो \(a\) के सभी संभव मान जिस अंतराल में स्थित हैं, वह है:

वक्र \(y=\int_{0}^{x}|t| d t, x \in R\), पर रेखा \(y=2 x\), के समान्तर खीची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा \(x-\)अक्ष पर बने अन्त: खण्ड, बराबर है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

यदि शून्येतर वास्तविक संख्याएँ \(b\) तथा \(c\) ऐसी हैं कि \(\min f(x)>\max g(x)\), जहाँ \(f(x)=x^{2}+2 b x+2 c ^{2}\) तथा \(g (x)=-x^{2}-2 c x+ b ^{2}(x \in R )\) हैं, तो \(\left|\frac{ c }{ b }\right|\) जिस अंतराल में है, वह है

यदि अंको \(0,2,4,6\) तथा 8 द्वारा संख्याएँ बनाई गई है और उनमें अंको को दोहराने की अनुमति नहीं है तो इस प्रकार बनाई गई उन संख्याओं, जो \(10,000\) से बड़ी हो, की संख्या है ........ |

\(n \times n\) के वास्तविक आव्यूहों \(A\) तथा \(B\) के एक समूह पर एक संबंध \(R\) निम्न प्रकार से परिभाषित है : "\(ARB\) यदि और केवल यदि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह \(P\) का अस्तित्व है। जिसके लिए \(PAP -1= B\) है'। तो निम्न में से कौन-सा सत्य है ?

मान लीजिए कि \(C\) न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त है जो दीर्घवृत्त \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) को परिबद्ध करता है, जिसकी उत्केंद्रता \(\frac{1}{2}\) और नाभियाँ \(( \pm 2,0)\) हैं। मान लीजिए कि PQR एक परिवर्ती त्रिभुज है, जिसका शीर्ष \(P\) वृत्त \(C\) पर है और भुजा \(Q R\) जिसकी लंबाई 29 है, \(E\) के दीर्घ अक्ष के समानांतर है तथा \(E\) के ऋणात्मक \(y\)-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को समाहित करती है। तब त्रिभुज PQR का अधिकतम क्षेत्रफल: