\(\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x\right|\) = ...........

माना वृत्त \(x ^2-\sqrt{2}( x + y )+ y ^2=0\) के अन्तर्गत त्रिभुज \(A B C\) इस प्रकार है कि \(\angle BAC =\frac{\pi}{2}\) है। यदि भुजा \(AB\) की लम्बाई \(\sqrt{2}\) है, तो \(\triangle ABC\) का क्षेत्रफल है

माना \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) ऐसे मात्रक सदिश हैं कि \(|\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }|=\sqrt{3}\) है। यदि \(\overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+3(\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b })\) है, तो \(2|\overrightarrow{ c }|\) बराबर है

यदि समीकरण \(e^{2 x}-11 e^x-45 e^{-x}+\frac{81}{2}=0\) के सभी मूलों का योग \(\log _e P\) है तो \(p\) बराबर होगा।

बिंदु \((-3,-5)\) को दीर्घवत्त \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\) के बिंदुओं से मिलाने वाले रेखाखण्डों के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ है

यदि रैखिक समीकरण निकाय \(x+k y+3 z=0\),\(3 x+k y-2 z=0\),\(2 x+4 y-3 z=0\) का एक शून्येतर हल \((x, y, z)\) है, तो \(\frac{x z}{y^{2}}\) बराबर है

एक वृत जो \((1,-2)\) से होकर जाता है तथा \(x-\) अक्ष \((3,0)\) पर स्पर्श करता है, जिस अन्य बिन्दु से होकर जाता है, वह है

माना पाँच अंको की सभी संख्याओं की प्रतिदर्श समष्टि \(S\) में से एक याद्दच्छया चुनी गई संख्या की \(7\) की गुणन होने तथा \(5\) से विभाजय न होने की प्रायिकता \(p\) है, तो \(9\,p\) बराबर है-

समीकरण \(x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+2 \log _{4}\left(10-2^{-x}\right)=0\) के मूलों का योग है

माना एक रेखा \(L\) दोनों रेखाओं \(L_1: \dfrac{x+1}{3} = \dfrac{y+3}{5} = \dfrac{z+5}{7}\) और \(L_2: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-4}{4} = \dfrac{z-6}{7}\) के लंबवत है। यदि रेखाओं \(L\) और \(L_3: \dfrac{x - \dfrac{8}{7}}{2} = \dfrac{y - \dfrac{4}{7}}{1} = \dfrac{z}{2}\) के बीच का न्यून कोण \(\theta\) है, तो \(\tan\theta\) बराबर है:

\(\cot \frac{\pi}{24}\) का मान है

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

माना एक अवकलनीय फलन \(\mathrm{f}\), \(\mathrm{f}(\mathrm{x})+\int_3^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{f}(\mathrm{t})}{\mathrm{t}} \mathrm{dt}=\sqrt{\mathrm{x}+1}, \mathrm{x} \geq 3\) को संतुष्ट करता है। तो \(12 \mathrm{f}(8)\) बराबर है: