એક આદર્શ વાયુ દબાણ \((P)\) અને કદ \((V)\) વચ્ચેનો સંબંધ \(P = P_o\left(1 + \left(\dfrac{V_o}{V}\right)^2\right)^{-1}\) જાળવી રાખીને એક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે, જ્યાં \(P_o\) અને \(V_o\) અચળાંક છે. જો બે નમૂનાઓ \(A\) અને \(B\) (પ્રત્યેક બે મોલ) જેમના પ્રારંભિક કદ અનુક્રમે \(V_o\) અને \(3V_o\) છે, તેઓ ઉપર દર્શાવેલ પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય અને સમાન દબાણ પ્રાપ્ત કરે, તો આ નમૂનાઓના તાપમાનનો તફાવત, \(T_B - T_A\) છે _____. (\(R = \) વાયુ અચળાંક)

દબાણ અને કદ વચ્ચેનો આપેલ સંબંધ છે:

\(P = P_o\left(1 + \left(\dfrac{V_o}{V}\right)^2\right)^{-1}\)

નમૂના A માટે, પ્રારંભિક કદ \(V_A = V_o\) છે. આને આપેલ સંબંધમાં આદેશિત કરતાં, પ્રારંભિક દબાણ \(P_A\) છે:

\(P_A = P_o\left(1 + \left(\dfrac{V_o}{V_o}\right)^2\right)^{-1} = \dfrac{P_o}{2}\)

આદર્શ વાયુ સમીકરણ \(PV = nRT\) નો ઉપયોગ કરીને \(n = 2\) મોલ માટે, પ્રારંભિક તાપમાન \(T_A\) છે:

\(T_A = \dfrac{P_A V_A}{nR} = \dfrac{\left(\dfrac{P_o}{2}\right) V_o}{2R} = \dfrac{P_o V_o}{4R}\)

નમૂના B માટે, પ્રારંભિક કદ \(V_B = 3V_o\) છે. આને સંબંધમાં આદેશિત કરતાં, પ્રારંભિક દબાણ \(P_B\) છે:

\(P_B = P_o\left(1 + \left(\dfrac{V_o}{3V_o}\right)^2\right)^{-1} = P_o\left(1 + \dfrac{1}{9}\right)^{-1} = \dfrac{9P_o}{10}\)

\(n = 2\) મોલ માટે પ્રારંભિક તાપમાન \(T_B\) છે:

\(T_B = \dfrac{P_B V_B}{nR} = \dfrac{\left(\dfrac{9P_o}{10}\right) (3V_o)}{2R} = \dfrac{27P_o V_o}{20R}\)

બે નમૂનાઓના પ્રારંભિક તાપમાનનો તફાવત છે:

\(T_B - T_A = \dfrac{27P_o V_o}{20R} - \dfrac{P_o V_o}{4R}\)

\(T_B - T_A = \dfrac{27P_o V_o - 5P_o V_o}{20R} = \dfrac{22P_o V_o}{20R} = \dfrac{11P_o V_o}{10R}\)

જવાબ: \(\dfrac{11P_o V_o}{10R}\)