\(m\) દળનો એક ઇલેક્ટ્રોન \(\vec{E} = -2E_0\hat{i}\) (\(E_0 =\) અચળાંક \(> 0\)) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રારંભિક વેગ \(\vec{V} = v_0\hat{i}\) (\(v_0 =\) અચળાંક \(> 0\)) સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે. જો \(\lambda_0 = \dfrac{h}{4mv_0}\) હોય, તો સમય \(t\) પર તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ __________ છે.
(\(e =\) ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર)

વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું બળ \(\vec{F} = q\vec{E}\) દ્વારા અપાય છે.

ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \(-e\) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\vec{E} = -2E_0\hat{i}\) હોવાથી, બળ આ પ્રમાણે છે:

\(\vec{F} = (-e)(-2E_0\hat{i}) = 2eE_0\hat{i}\)

ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ આ પ્રમાણે છે:

\(\vec{a} = \dfrac{\vec{F}}{m} = \dfrac{2eE_0}{m}\hat{i}\)

ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતાં, સમય \(t\) પર ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ આ પ્રમાણે છે:

\(\vec{v}(t) = \vec{V} + \vec{a}t = \left(v_0 + \dfrac{2eE_0}{m}t\right)\hat{i}\)

સમય \(t\) પર ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ આ પ્રમાણે છે:

\(\lambda = \dfrac{h}{m|\vec{v}(t)|} = \dfrac{h}{m\left(v_0 + \dfrac{2eE_0}{m}t\right)}\)

આપણને આપેલ છે કે \(\lambda_0 = \dfrac{h}{4mv_0}\), જે દર્શાવે છે કે \(h = 4mv_0\lambda_0\). આને \(\lambda\) ના સૂત્રમાં મૂકતાં:

\(\lambda = \dfrac{4mv_0\lambda_0}{m\left(v_0 + \dfrac{2eE_0}{m}t\right)}\)

અંશ અને છેદને \(mv_0\) વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:

\(\lambda = \dfrac{4\lambda_0}{1 + \dfrac{2E_0 e}{m}\dfrac{t}{v_0}}\)

જવાબ: \(\dfrac{4\lambda_0}{\left[1 + \dfrac{2E_0 e}{m}\dfrac{t}{v_0}\right]}\)