સમીકરણ \(\sqrt {3 {x^2} + x + 5} = x - 3\) માટે \(x\) ના વાસ્તવિક ઉકેલોનો સંખ્યા ....... છે ?

વાસ્તવિક વિધેય  \(f(x)=\frac{\operatorname{cosec}^{-1} x}{\sqrt{x-[x]}}\) એ ક્યાં \(x\) માટે વ્યાખ્યાયિત છે . ( કે જ્યાં  \([ x ]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે )

\(a \in C\) માટે,ધારોકે  \(A =\{z \in C: \operatorname{Re}( a +\overline{ z }) > \operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}\) અને \(B=\{z \in C: \operatorname{Re}(a+\bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a}+z)\}\).તો આપેલા બે વિધાનો  \((S1)\) : જો \(\operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a) > 0\), હોય તો ગણ \(A\) તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઆ સમાવે છે, અને \((S2)\) : જો \(\operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a) < 0\), હોય તો ગણ \(B\) તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સમાવે છે.

ધારોકે એક વિધેય \(f:(0, \pi) \rightarrow {R}\) એ \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{\tan 8 x}{\tan 7 x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ a-8, & x=\frac{\pi}{2} \\ (1+\mid \cot x)^{\frac{b}{a}|\tan x|}, & \frac{\pi}{2} < x < \pi\end{array}\right.\) જ્યાં \(a, b \in Z\) મુજબ આપેલ છે. જો \(x=\frac{\pi}{2}\) પર \(f\) સતત હોય, તો \(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2=\) ..........

ઉપવલય \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1\) ની નાભી અને અતિવલય \(\frac{ x ^{2}}{144}-\frac{ y ^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}\) નાભી  સંપાતી છે તો અતિવલયના નાભીલંભની લંબાઈ મેળવો.

ધારો કે, \((\mathrm{a}, 0), \mathrm{a}\gt0\), થી પરવલય \(y^2=4 x\) સુધીનું લઘુત્તમ અંતર 4 છે. તો બિંદુ \((a, 0)\) અને પરવલયના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા તથા તેનું કેન્દ્ર પરવલયની અક્ષ પર હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ શું છે?

જો બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) એ \(\triangle ABC\) ના અનુક્રમે પરિકેન્દ્ર તથા લંબકેન્દ્ર હોય, તો \(\overrightarrow{ PA }+\overrightarrow{ PB }+\overrightarrow{ PC }=........\)

પુનરાવર્તન સિવાય અંકો \(0, 1, 2, 5, 7\) અને  \(9\) નો ઉપયોગ કરી \(11\) વડે વિભાજ્ય છ અંકની કેટલી સંખ્યા બનાવી શકાય.

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

સમતલ  \(P\) એ સમતલો \(\overrightarrow{ r } \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6\) અને \(\overrightarrow{ r } \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{ k })=-5\) ની છેદરેખા માંથી પસાર થાય છે. જો \(P\) એ બિંદુ \((0,2,-2)\) માંથી પસાર થાય છે તો બિંદુ  \((12,12,18)\) નું સમતલ \(P\) થી અંતરનો વર્ગ મેળવો.

જો \(f(x)\, = {x^2} - x + 5,\,\,x > \frac{1}{2},\) અને \(g(x)\) એ તેનું વ્યસ્ત વિધેય છે તો  \(g'(7)\) મેળવો.

\(\int \frac{1}{\sqrt[4]{(x-1)^{3}(x+2)^{5}}} d x\)  ની કિમંત મેળવો. (કે જ્યાં  \(\mathrm{C}\) એ સંકલન અચળાંક છે )

ધારોકે વિધેય \(f: R \rightarrow R\) નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\int \limits_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x & , x \leq 4\end{array}\right.\) જ્યાં \(b \in R\) જો \(f\) એ \(x=4\) આગળ સતત હોય, તો નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું નથી ?