ધારો કે સમીકરણ સંહતિ \(x+2 y+3 z=5,2 x+3 y+z=9,4 x+3 y+\lambda z=\mu\) ને અસંખ્ય ઉકેલો છે. તો \(\lambda+2 \mu\) = ...........

\(4 \int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{1+x^2}}\right) d x-3 \log _e(\sqrt{3})\) = ___

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

જો ઉપવલય \(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1\) પરના બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) માંથી દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકો બિંદુ \(R(\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}-2)\) માં મળે છે. જો  \(S\) એ ઉપવલયની ઋણ મુખ્ય અક્ષની નાભી છે. તો  \(SP ^{2}+ SQ ^{2}\) ની કિમંત મેળવો.

\(\left( {{2^{1/3}} + \frac{1}{{2{{\left( 3 \right)}^{1/3}}}}} \right)^{10}\) ના વિસ્તરણમાં પહેલેથી \(5^{th}\) માં પદ અને છેલ્લેથી \(5^{th}\) માં પદનો ગુણોત્તર મેળવો.

ધારો કે \((\alpha, \beta, \gamma)\) એ બિંદુ \((1,2,3)\) માંથી રેખા \(\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}\) પરનો લંબપાદ છે. તો \(19(\alpha+\beta+\gamma)\) = ...........

ધારો કે પરવલય \(y^{2}=6 x\) ના બિંદુ \(P\) આગળનો અભિલંબ એ બિંદુ \((5,-8)\) માંથી પસાર થાય છે.જો \(P\)બિંદુ આગળનો પરવલય સ્પર્શક તેની નિયામિકાને \(Q\) બિંદુ એ છેદે,તો આ બિંદુ \(Q\) નો \(y-\)યામ\(\dots\dots\dots\)છે. 

જો  \(y = y ( x )\) એ વિકલ સમીકરણ  \(2 x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y+3 y^{2}=0 \quad\) નો એવો ઉકેલ છે કે જ્યાં   \(y(e)=\frac{e}{3}\), તો  \(y(1)\) = .............. 

ધારોકે \(O\) ઉગમબિંદુ છે તથા બિંદુ \(P\) નો સ્થાન સદિશ \(-\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\) છે. જો બિંદુુ \(A,B\) અને \(C\) ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે \(-2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}, 2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\) અને \(-4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}\) હોય, તો સદિશ \(\overrightarrow{O P}\) નો, સદિશો \(\overrightarrow{A B}\) અને \(\overrightarrow{A C}\) ને લંબ સદિશ પરનો પ્રક્ષેપ \(........\) છે.

વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}=x y-1+x-y ; y(0)=0\) નો ઉકેલ \(y ( x )\)  હોય તો આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધાન સત્ય છે .

રેખા \(L: \ell x-y+3(1-\ell)\) \(z=1, x+2 y-z=2\) માંથી પસાર થતાં અને સમતલ \(3 x+2 y+z=6\) ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ \(3 x-8 y+7 z=4\) છે . જો  \(\theta\) એ રેખા \(L\) અને  \(y\)- અક્ષ વચ્ચેનો લઘુકોણ હોય તો  \(415\cos ^{2} \theta\) ની કિમંત \(...\) મેળવો.

શબ્દ "DAUGHTER" ના બધા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને રચી શકાતા શબ્દોની સંખ્યા, જેથી બધા સ્વરો ક્યારેય એકસાથે ન આવે, તે છે:

જો \(\frac{1}{(20-a)(40-a)}+\frac{1}{(40-a)(60-a)}+\ldots \ldots+\) \(\frac{1}{(180-a)(200-a)}=\frac{1}{256}\), હોય તો  \(a\) ની મહતમ કિમંત મેળવો.