ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા \(2 k\) છે, જ્યાં \(k \in N\). જો સમાંતર શ્રેણીના બધા વિષમ પદોનો સરવાળો 40 હોય, બધા યુગ્મ પદોનો સરવાળો 55 હોય અને સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ પ્રથમ પદ કરતાં 27 વધારે હોય, તો \(k\) = __________

ઉપવલય \(2 x^{2}+3 y^{2}=5\) પર બિંદુ \((1,3)\) માંથી દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકોનો જોડ વચ્ચેનો લઘુકોણ મેળવો.

\({\left( {\frac{{x + 1}}{{{x^{\frac{2}{3}}} - {x^{\frac{1}{3}}} + 1}} - \frac{{x - 1}}{{x - {x^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{10}}\) ના વિસ્તરણમાં \(x^{-5}\) નો સહગુણક મેળવો. જ્યાં \(x \ne 0, 1\)

જો \(f : (-1, 1) \to R\) એ સતત વિધેય છે  અને  \(\int\limits_0^{\sin \,x} {f\left( t \right)dt}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\) , તો  \(f\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(0 < a , b < 1,\) અને \(\tan ^{-1} a +\tan ^{-1} b =\frac{\pi}{4},\) હોય તો \((a+b)-\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\right)+\left(\frac{a^{3}+b^{3}}{3}\right)-\left(\frac{a^{4}+b^{4}}{4}\right)+\ldots\) નું મૂલ્ય ..... છે.

\(z\) ની મહતમ કિમંત આપેલ સમીકરણો \(z=6 x y+y^{2}\) કે જ્યાં \(3 x+4 y \leq 100\) અને \(4 x+3 y \leq 75\) ;\(x \geq 0\) ; \(y \geq 0\)  આપેલ છે .

\(\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y\) નું મૂલ્ય ........... છે.

જો \(f ( x )= x \cdot\left[\frac{ x }{2}\right],\) જ્યાં \(-10< x <10,\) જ્યાં \([ . ]\) એ મહત્તમ પૂર્ણાક વિધેય હોય તો વિધેય \(f\) ના કેટલા બિંદુઓ આગળ અસતત થાય? 

વક્ર \(y = y ( x )\) એ બિંદુ \((3,3)\) માંથી પસાર થાય છે અને વક્ર વડે આવૃત પ્રદેશ અને \(x-\)અક્ષની ઉપરના ભાગમાં અને \(x-\)યામ \(3\) અને  \(x(>3)\) ની વચ્ચે હોય તેવા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ  \(\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\) છે. જો વક્ર એ પ્રથમ ચરણમાં  બિંદુ \((\alpha, 6 \sqrt{10})\) માંથી પણ પસાર થાય છે તો \(\alpha\) ની કિમંત  \(........\) થાય.

\(x \geqslant 0\) માટે \(4^{1+x}+4^{1-x}, \frac{\mathrm{K}}{2}, 16^x+16^{-x}\) એ એક સમાંતર શ્રેણીનાં ત્રણ ક્રમિક પદો હોય, તો \(\mathrm{K}\) નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય ........... છે.

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

ધારો કે \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+y=e^{\tan ^{-1} x}, y(1)=0\) નો ઉકેલ છે. તો \(y(0)=\) .........

જો \(\alpha+i \beta\) અને \(\gamma+i \delta\) એ \(x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0, i=\sqrt{-1}\) નાં બીજ હોય, તો \(\alpha \gamma+\beta \delta\) = __________