लम्बाई \('l'\) की एक एकसमान छड़ नगण्य त्रिज्या के एक ऊर्ध्वाधर डण्डे पर कीलकित (pivoted) है। जब यह डण्डा कोणीय गति \(\omega\) से घूमता है तो छड़ इससे \(\theta\) कोण बनाती है (चित्र देखें)। \(\theta\) का मान ज्ञात करने के लिये हम छड़ के द्रव्यमान केन्द्र \((CM)\) के सापेक्ष इसके कोणीय संवेग में होने वाले परिवर्तन (जिसका मान \(\frac{ m \ell^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta\) है और जिसकी दिशा इस तल के अन्दर की ओर है) को इस पर लगने वाले क्षैतिज \(F _{ H }\) व ऊर्ध्वाधर \(F _{ V }\) बलों के \(CM\) के सापेक्ष आघूर्ण के बराबर लेते हैं। तब \(\theta\) का मान ऐसा होगा कि ......।

A \(\cos \theta=\frac{g}{2 \ell \omega^{2}}\)
B \(\cos \theta=\frac{3 g}{2 \ell \omega^{2}}\)
C \(\cos \theta=\frac{2 g}{3 \ell \omega^{2}}\)
D \(\cos \theta=\frac{g}{\ell \omega^{2}}\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(B) \(\cos \theta=\frac{3 g}{2 \ell \omega^{2}}\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(F_{V}=m g\) \(F_{H}=m \omega^{2} \frac{\ell}{2} \sin \theta\) \(mg \frac{\ell}{2} \sin \theta- m \omega^{2} \frac{\ell}{2} \sin \theta \frac{\ell}{2} \cos \theta=\frac{ m \ell^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta\) \(\cos \theta=\frac{3}{2} \frac{g}{\omega^{2} \ell}\)…

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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