एक डोरी \(A\) जिसकी लंबाई \(0.314\) m और यंग गुणांक \(2 \times 10^{10}\) N/m\(^2\) है, को एक अन्य डोरी \(B\) से जोड़ा जाता है जिसकी लंबाई और यंग गुणांक दोनों ही \(A\) के दोगुने हैं। डोरियों के इस श्रेणी संयोजन को फिर एक दृढ़ आधार से निलंबित किया जाता है और इसके मुक्त सिरे पर \(0.8\) kg द्रव्यमान का एक भार जोड़ा जाता है। संयोजन की लंबाई में कुल परिवर्तन _____ mm है। (दोनों डोरियों की त्रिज्या \(0.2\) mm है और गुरुत्वीय त्वरण \(= 10\) m/s\(^2\)) (भार के द्रव्यमान की तुलना में दोनों डोरियों का द्रव्यमान नगण्य मानिए)

दिया है:
डोरी \(A\) की लंबाई, \(L_A = 0.314\) m
डोरी \(A\) का यंग गुणांक, \(Y_A = 2 \times 10^{10}\) N/m\(^2\)
दोनों डोरियों की त्रिज्या, \(r = 0.2\) mm \(= 2 \times 10^{-4}\) m
डोरी \(B\) की लंबाई, \(L_B = 2L_A = 0.628\) m
डोरी \(B\) का यंग गुणांक, \(Y_B = 2Y_A = 4 \times 10^{10}\) N/m\(^2\)
भार का द्रव्यमान, \(m = 0.8\) kg
गुरुत्वीय त्वरण, \(g = 10\) m/s\(^2\)

दोनों डोरियों में तनाव, \(T = mg = 0.8 \times 10 = 8\) N

दोनों डोरियों का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल:
\(A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-4})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-8}\) m\(^2\)

डोरी \(A\) में वृद्धि:
\(\Delta L_A = \dfrac{T L_A}{A Y_A}\)
\(\Delta L_A = \dfrac{8 \times 0.314}{3.14 \times 4 \times 10^{-8} \times 2 \times 10^{10}}\)
\(\Delta L_A = \dfrac{8 \times 0.314}{8 \times 3.14 \times 10^2} = \dfrac{0.1}{10^2} = 10^{-3}\) m \(= 1\) mm

डोरी \(B\) में वृद्धि:
\(\Delta L_B = \dfrac{T L_B}{A Y_B}\)
\(\Delta L_B = \dfrac{8 \times (2 \times 0.314)}{A \times (2 Y_A)} = \dfrac{T L_A}{A Y_A} = 1\) mm

संयोजन की लंबाई में कुल परिवर्तन:
\(\Delta L = \Delta L_A + \Delta L_B = 1 + 1 = 2\) mm

उत्तर: \(2\)