\(m\) द्रव्यमान के एक गुटके को खुरदरे नत समतल पर उच्चतम बिंदु से निम्नतम बिंदु तक नीचे खिसकने में लगा समय, उसी गुटके को समान नत चिकने समतल पर नीचे खिसकने में लगे समय की तुलना में \(50\%\) अधिक है। दोनों नत समतल क्षैतिज से \(45^\circ\) पर हैं। खुरदरे नत समतल की सतह और गुटके के बीच गतिज घर्षण गुणांक है _____।

मान लीजिए नत समतल की लंबाई \(s\) है।

चिकने नत समतल के लिए, गुटके का त्वरण \(a_1 = g \sin \theta\) है।

नीचे खिसकने में लगा समय \(t_1 = \sqrt{\dfrac{2s}{a_1}} = \sqrt{\dfrac{2s}{g \sin \theta}}\)।

खुरदरे नत समतल के लिए, गुटके का त्वरण \(a_2 = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta\) है।

नीचे खिसकने में लगा समय \(t_2 = \sqrt{\dfrac{2s}{a_2}} = \sqrt{\dfrac{2s}{g (\sin \theta - \mu_k \cos \theta)}}\)।

दिया गया है कि \(t_2\), \(t_1\) से \(50\%\) अधिक है, इसलिए \(t_2 = t_1 + 0.5 t_1 = \dfrac{3}{2} t_1\)।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(t_2^2 = \dfrac{9}{4} t_1^2\) प्राप्त होता है।

\(t_1^2\) और \(t_2^2\) के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(\dfrac{2s}{g (\sin \theta - \mu_k \cos \theta)} = \dfrac{9}{4} \left( \dfrac{2s}{g \sin \theta} \right)\)

\(\dfrac{1}{\sin \theta - \mu_k \cos \theta} = \dfrac{9}{4 \sin \theta}\)

\(4 \sin \theta = 9 \sin \theta - 9 \mu_k \cos \theta\)

\(9 \mu_k \cos \theta = 5 \sin \theta\)

\(\mu_k = \dfrac{5}{9} \tan \theta\)

दिया गया है \(\theta = 45^\circ\), इसलिए \(\tan 45^\circ = 1\)।

\(\mu_k = \dfrac{5}{9} \times 1 = \dfrac{5}{9}\)

उत्तर: \(5/9\)