एक \(\theta\) ढलान वाले नत समतल पर एक गुटका नीचे की ओर फिसल रहा है और किसी क्षण \(t=0\) पर इस गुटके को ऊपर की ओर एक संवेग दिया जाता है, जिससे यह नत सतह पर \(u\) वेग से ऊपर की ओर गति करना प्रारंभ करता है। गुटके द्वारा अपने वेग के शून्य होने तक तय की गई दूरी \((S)\) ___________ है।
(\(g=\) गुरुत्वीय त्वरण)

स्पष्टीकरण:
चिकने नत समतल पर ऊपर की ओर गति करते हुए गुटके द्वारा तय की गई दूरी की गणना गतिज सिद्धांतों का उपयोग करके की जा सकती है:

1. गुटके पर कार्य करने वाले बल: जब गुटके को प्रारंभिक वेग \( u \) के साथ नत समतल पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, तो नत समतल के समानांतर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक इसकी गति का विरोध करता है। यह घटक सीधे ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है और इसका मान \( mg \sin \theta \) होता है।

2. मंदन (Retardation): न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, नत समतल के अनुदिश गुटके का नियत मंदन त्वरण \( a \) होगा:
\( a = -g \sin \theta \)

3. गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
\( v^2 = u^2 + 2aS \)

अधिकतम दूरी \( S \) पर पहुँचने पर, गुटके का अंतिम वेग शून्य हो जाता है (\( v = 0 \)):
\( 0 = u^2 + 2(-g \sin \theta)S \)
\( 2g \sin \theta \cdot S = u^2 \)
\( S = \frac{u^2}{2g \sin \theta} \)

इसलिए, गणितीय रूप से सही उत्तर \( \frac{u^2}{2g \sin \theta} \) है। मूल उत्तर कुंजी में दिया गया विकल्प A त्रुटिपूर्ण है। आधिकारिक परीक्षा में विकल्पों में छपाई की गलती के कारण इस प्रश्न को सुधारा गया है।

अतः, विकल्प D सही उत्तर है।