एक बेलन (cylinder) केन्द्र से होकर जाने वाले और बेलन के अक्ष के लम्बवत् एक अक्ष के लिये बेलन का जड़त्वाघूर्ण \(I = M \left(\frac{ R ^{2}}{4}+\frac{ L ^{2}}{12}\right)\) है, जहाँ \(M\) बेलन का द्रव्यमान, \(R\) इसकी त्रिज्या और \(L\) इसकी लम्बाई है। यदि एक दिये हुए द्रव्यमान के किसी पदार्थ से एक बेलन बनाया जाये तो इसके जड़त्वाघूर्ण के न्यूनतम मान के लिये \(L / R\) का अनुपात होगा?

as mass is constant \(\Rightarrow m =\rho V =\) constant

\(V = constant\)

\(\pi^{2} R l=\) constant \(\Rightarrow R ^{2} L =\) constant

\(2 RL + R ^{2} \frac{ dL }{ dR }=0\)\(...(2)\)

From equation \((1)\)

\(\frac{ dI }{ clR }= M \left(\frac{2 R }{4}+\frac{2 L }{12} \times \frac{ dI }{ dr }\right)=0\)

\(\frac{ R }{2}+\frac{ L }{6} \frac{ dI }{ dR }=0\)

Substituting value of \(\frac{ dI }{ d R }\) from eqution \((2)\)

\(\frac{ R }{2}+\frac{ L }{6}\left(\frac{-2 L }{ R }\right)=0\)

\(\frac{ R }{2}=\frac{ L^{2}}{3 R } \Rightarrow \frac{ L }{ R }=\sqrt{\frac{3}{2}}\)