एक \(300\,cm\) लम्बाई का विभवमापी का तार, श्रेणी क्रम में \(780\,\Omega\) के प्रतिरोध एवं \(4\,V\) विद्युत वाहक बल वाले मानक सैल से जोड़ा जाता है। विभवमापी के तार में एक स्थिर धारा बहती है। \(20\,mV\,emf\) वाले सैल के लिए, शून्य बिन्दु 60 \(cm\) की लम्बाई पर मिलता है। विभवमापी के तार का प्रतिरोध \(..........\Omega\) है।

एक कमानी द्रव्यमान (spring mass) निकाय (द्रव्यमान \(m\), कमानी स्थिरांक \(k\) और प्राकृतिक लम्बाई \(l\) ) संतुलित अवस्था में एक क्षैतिज डिस्क पर रखा हुआ है। कमानी का खाली सिरा डिस्क के केन्द्र पर आबद्ध है। यदि अब डिस्क को इस कमानी द्रव्यमान निकाय के साथ इसके अक्ष के चारों ओर \(\omega,\left( k \gg m \omega^{2}\right)\) कोणीय वेग से घुमाया जाय तो \(l\) के सापेक्ष कमानी की लम्बाई में बदलाव के लिये कौनसा विकल्प सर्वश्रेष्ठ है ?

समान पदार्थ से बने तारों \(W _{1}\) तथा \(W _{2}\) का भंजक प्रतिबल \(1.25 \times 10^{9} \,N / m ^{2}\) है। \(W _{1}\) तथा \(W _{2}\) के अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल क्रमशः \(8 \times 10^{-7}\) मी \(^{2}\) तथा \(4 \times 10^{-7}\) मी \(^{2}\) हैं। चित्रानुसार \(20\) किग्रा तथा \(10\) किग्रा के द्रव्यमान उनसे लटकाये गये हैं। तारों का भंजन किए बिना पलड़े (पैन) पर रखा जा सकने वाला अधिकतम द्रव्यमान \(.....\) किग्रा है। \((g=10\) मी/से\({ }^{2}\) का प्रयोग कीजिए)

एक समतल वैद्युतचुम्बकीय तरंग में चुम्बकीय क्षेत्र \(\overrightarrow{ B }= B _{0} \sin ( k x+\omega t ) \hat{j} T\) है । इसके संगत विद्युत क्षेत्र का सूत्र होगा : यहाँ \(C\) प्रकाश का वेग है।

द्रव्यमान \(m\) और \(M,(M \gt m)\) के दो गुटके एक घर्षण रहित मेज पर रखे गए हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। एक द्रव्यमान रहित स्प्रिंग स्प्रिंग नियतांक k के साथ निचले गुटके से जुड़ी हुई है। यदि निकाय को थोड़ा विस्थापित करके छोड़ दिया जाए, तो
(\(\mu=\) दोनों गुटकों के बीच घर्षण गुणांक)

(A) दोनों गुटकों के छोटे दोलनों का आवर्तकाल \(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{(\mathrm{~m}+\mathrm{M})}{\mathrm{k}}}\) है
(B) गुटकों का त्वरण \(\mathrm{a}=\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{M}+\mathrm{m}}\) है (\(\mathrm{x}=\) माध्य स्थिति से गुटकों का विस्थापन)
(C) ऊपरी गुटके पर घर्षण बल का परिमाण \(\frac{m \mu|x|}{M+m}\) है
(D) यदि ऊपरी गुटका फिसलता नहीं है, तो उसका अधिकतम आयाम \(\frac{\mu(M+m) g}{k}\) है
(E) अधिकतम घर्षण बल \(\mu(\mathrm{M}+\mathrm{m}) \mathrm{g}\) हो सकता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

एक गुटके को एक नत समतल के शीर्ष से सरलता से छोड़ा जाता है, जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है। जब गुटका स्प्रिंग से टकराता है तो स्प्रिंग में अधिकतम संपीडन _______ है।

एक अवतल दर्पण किसी वस्तु का ऐसा प्रतिबिंब बनाता है कि वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी 20 cm है। यदि प्रतिबिंब का आवर्धन '-3' है, तो दर्पण की वक्रता त्रिज्या का परिमाण क्या है?

अवकल समीकरण \(2 \mathrm{y} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+3=5 \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\), का हल वक्र, जो बिंदु \((0,1)\) से होकर गुजरता है, एक शांकव है, जिसका शीर्ष जिस रेखा पर स्थित है, वह ........... है।

माना \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) एक रैखिक फलन है तथा \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}g(x) & , x \leq 0 \\ \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} & , x>0\end{array}\right.\), \(x=0\) पर संतत है। यदि \(f^{\prime}(1)=f(-1)\) है, तो \(g(3)\) का मान ........... है।

पानी के नल की एक टोंटी का व्यास \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} \; cm\) है। इससे \(15\) लिटर की एक बाल्टी को भरने में \(5\) मिनट का समय लगता है। (यदि, जल का घनत्व \(=10^{3} kg / m ^{3}\) तथा जल की श्यानता \(=10^{-3}\; Pa.s\) है) तो, इस प्रवाह के लिये रेनल्ड्स संख्या होगी :

\(\lambda\) के सभी वास्तविक मानों, जिनके लिए फलन \(f( x )=(1\) \(\left.-\cos ^{2} x\right) \cdot(\lambda+\sin x), x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\), का केवल एक उच्चिष्ठ (maxima) तथा केवल एक निम्निष्ठ (minima) है, का समुच्चय है

\(\tan ^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)+\sec ^{-1}\left(\sqrt{\frac{8+4 \sqrt{3}}{6+3 \sqrt{3}}}\right)\) बराबर है:

सात प्रेक्षणों \(2, 4, \alpha, 8, \beta, 12, 14\), \(\alpha < \beta\) के माध्य और प्रसरण क्रमशः \(8\) और \(16\) हैं। तो वह द्विघात समीकरण जिसके मूल \(3\alpha + 2\) और \(2\beta + 1\) हैं, वह है :