दो अलग तारों की लम्बाइयाँ \(L _{1}\) तथा \(L _{2}\) हैं एवं उनके रेखीय ताप प्रसार गुणांक, क्रमशः \(\alpha_{1}\) तथा \(\alpha_{2}\) हैं। यदि उन तारों के सिरों को जोड़ा जाये तो प्रभावी रेखीय प्रसार ताप गुणांक होगा।

नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन I : एक वर्नियर कैलिपर्स में, वर्नियर पैमाने का एक भाग हमेशा मुख्य पैमाने के एक भाग से छोटा होता है।
कथन II : वर्नियर स्थिरांक को मुख्य पैमाने के एक भाग को वर्नियर पैमाने के भागों की संख्या से गुणा करके दिया जाता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

दो 1 kg कणों, (A) और (B), के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
\(\overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{A}}=\left(\alpha_1 \mathrm{t}^2 \hat{i}+\alpha_2 \mathrm{t} \hat{j}+\alpha_3 \mathrm{t} \hat{k}\right) \mathrm{m}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}=(\beta_1 \mathrm{t} \hat{i}+\beta_2 \mathrm{t}^2 \hat{j}\) \(+~\beta_3 \mathrm{t} \hat{k}) \mathrm{m}\), क्रमशः; \((\alpha_1=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, \alpha_2=3 \mathrm{n} \mathrm{m} / \mathrm{s},\) \(\alpha_3=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \beta_1=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s},\) \(\beta_2=-1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, \beta_3=4 \mathrm{pm} / \mathrm{s})\), जहाँ t समय है तथा n और p स्थिरांक हैं। \(t=1 \mathrm{~s}\) पर, \(\left|\overrightarrow{V_A}\right|=\left|\vec{V}_B\right|\) और कणों के वेग \(\vec{V}_A\) और \(\vec{V}_B\) एक-दूसरे के लंबवत हैं। \(t=1 \mathrm{~s}\) पर, कण (A) के कोणीय संवेग का परिमाण कण (B) की स्थिति के सापेक्ष \(\sqrt{\mathrm{L}} \mathrm{kgm}^2 \mathrm{~s}^{-1}\) है। L का मान _______ है।

एक उभयोत्तल लेंस (अपवर्तनांक 1.5) तथा एक समतल-अवतल लेंस (अपवर्तनांक \(=1.7\)) की क्षमता के परिमाण समान हैं। यदि समतल-अवतल लेंस की वक्रता उभयोत्तल लेंस के पश्च पृष्ठ की वक्रता से ठीक-ठीक मिलती है, तो उभयोत्तल लेंस के अग्र तथा पश्च पृष्ठों की वक्रता त्रिज्याओं का अनुपात ___________ है।

\(-4 \mu \mathrm{C}\) व \(+4 \mu \mathrm{C}\) के दो बिन्दु आवेश \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=0.20 \hat{\mathrm{i} ~ V} / \mathrm{cm}\) के एक वैद्युत क्षेत्र में बिन्दु \(\mathrm{A}(1,0,4) \mathrm{m}\) व \(\mathrm{B}(2,-1,5) \mathrm{m}\) पर स्थित है। द्विध्रुव पर आरोपिंत बल आघूर्ण का परिमाण \(8 \sqrt{\alpha} \times 10^{-5} \mathrm{Nm}\) है जहाँ \(\alpha=\). . . . . . . |

\(x-y\) तल में गति कर रहे एक कण के निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं :  \(\mathrm{x}=2+4 \mathrm{t}, \mathrm{y}=3 \mathrm{t}+8 \mathrm{t}^2 .\) कण की गति _______ है।

15.348 amu द्रव्यमान के एक कण को 4\( \alpha \) कणों में तोड़ने के लिए आवश्यक फोटॉन की न्यूनतम आवृत्ति __________ kHz है।
[He नाभिक का द्रव्यमान = 4.002 amu,
\(1 amu =1.66 \times 10^{-27} kg, h =6.6 \times 10^{-34} J . s\) और \(c =\) \(\left.3 \times 10^8 m / s \right]\)

यदि अवकल समीकरण \(\frac{ dy }{ dx }+(\tan x ) y =\sin x\), \(0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\), का हल \(y = y ( x )\) है जबकि \(y (0)=0\) है, तो \(y \left(\frac{\pi}{4}\right)\) बराबर है

क्षेत्र \(\{(x, y) : x^2 - 8x \leq y \leq -x\}\) का क्षेत्रफल है :

यदि एक रबर की गेंद \(h\) ऊँचाई से गिरती है और \(h / 2\) ऊँचाई तक उछलती है। प्रारंभिक निकाय की कुल ऊर्जा में प्रतिशत हानि और धरातल से टकराने से पहले गेंद का वेग, क्रमशः _______ होंगे।

न्यूनतम पूर्णांक, जो कि \(\left(1+\frac{1}{10^{100}}\right)^{10^{100}}\) से बड़ा है

तीन कण \(P , Q\) और \(R\) क्रमशः सदिशों \(\overrightarrow{ A }=\hat{ i }+\hat{ j }, \overrightarrow{ B }=\hat{ j }+\hat{ k }\) और \(\overrightarrow{ C }=-\hat{ i }+\hat{ j }\) के अनुदिश गमन कर रहे है। ये किसी बिन्दु पर टकराते है और विभिन्न दिशाओं में गमन करना आरम्भ कर देते है। कण \(P\) उस तल के अभिलम्बवत भी गमन करता है जिसमें सदिश \(\overrightarrow{ A }\) और \(\overrightarrow{ B }\) है। इसी प्रकार कण \(Q\) उस तल के अभिलम्बवत गति कर रहा है जिसमें सदिश \(\overrightarrow{ A }\) और \(\overrightarrow{ C }\) है। \(P\) और \(Q\) की गति की दिशाओं के बीच कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) है। तो \(x\) का मान \(\dots\) है

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