दिया है \(\left|\overrightarrow{ A }_{1}\right|=3,\left|\overrightarrow{ A }_{2}\right|=5\) तथा \(\left|\overrightarrow{ A }_{1}+\overrightarrow{ A }_{2}\right|=5\) तो \(\left(2 \overrightarrow{ A }_{1}+3 \overrightarrow{ A }_{2}\right) \cdot\left(3 \overrightarrow{ A }_{1}-2 \overrightarrow{ A }_{2}\right)\) का मान होगा ?

0.1 mm त्रिज्या की एक केशिका नली को जल (पृष्ठ तनाव \(70 \mathrm{dyn} / \mathrm{cm}\) और काँच-जल स्पर्श कोण \(\simeq 0^{\circ}\)) में आंशिक रूप से डुबोया जाता है, जो ऊर्ध्वाधर से \(30^{\circ}\) पर झुकी हुई है। केशिका में ऊपर उठे जल की लंबाई ________ cm है।
\(\left(\right.\) \(\left.\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)\) लीजिए।

जब चल कुंडली धारामापी से \(24 \Omega\) का शन्ट जोड़ा जाता है तो इसका विक्षेप \(25\) खानों से घटकर \(5\) खानों के बराबर रह जाता है। धारामापी कुंडली का प्रतिरोध होगा :

चित्र में दिखायी गयी असममित किन्तु एकसमान छड़ जिसकी अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल नगण्य है, के द्रव्यमान केन्द्र का स्थिति सदिश, \(\overrightarrow{ r ~ c m}\) होगा?

एक परिनालिका की फेरों की संख्या और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल निश्चित है। इसकी लम्बाई को फेरों की बीच की दूरी को समायोजित करके बद्ला जा सकता है इसका स्प्रेरकत्व समानुपाती होगा।

विक्टोरिया झरने की ऊँचाई \(63\) मी है। झरने के उच्चतम तथा निम्नतम बिन्दुओं पर ताप का अन्तर क्या होता है? [दिया गया है : \(1\) कैलोरी \(=4.2\) जूल तथा पानी की विशिष्ट उष्मा \(=1\) कैलोरी \(\times\) ग्राम \(^{-1} \times{ }^{\circ} C ^{-1}\) ] (\(^{\circ} {C}\) में)

\(R\,cm\) व्यास की एक बड़ी पानी की बूँद को \(64\) समान छोटी बूँदो में विभक्त किया गया है। पानी के लिए पृष्ठ तनाव का मान \(0.075\,N / m\) है। इस प्रक्रिया में पृष्ठीय ऊर्जा में वृद्धि \(.........\,J\) होगी 

सभी \(a \in \mathbb{R}\), जिनके लिए समीकरण \(\mathrm{x}|\mathrm{x}-1|+|\mathrm{x}+2|+\mathrm{a}=0\) का मात्र एक वास्तविक मूल है :

माना \(\alpha>0\) है। यदि \(\int_0^\alpha \frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\alpha}-\sqrt{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}=\frac{16+20 \sqrt{2}}{15}\) है, तो \(\alpha\) बराबर है :

यदि चार भिन्न बिंदु, जिनके स्थिथि सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) तथा \(\vec{d}\) हैं, सहतलीय हैं, तो \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\) बराबर है -

एक आयताकार लूप जिसकी भुजाएँ \(12 \mathrm{~cm}\) और \(5 \mathrm{~cm}\) हैं, जिसकी भुजाएँ क्रमशः \(x\)-अक्ष और \(y\)-अक्ष के समानांतर हैं, धनात्मक \(\mathrm{x}\) अक्ष दिशा में \(5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\) के वेग से गति करता है, एक ऐसे स्थान में जहाँ धनात्मक \(z\) दिशा में एक परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र है। क्षेत्र का ऋणात्मक \(\mathrm{x}\) दिशा के अनुदिश \(10^{-3} \mathrm{~T} / \mathrm{cm}\) का प्रवणता है और यह समय के साथ \(10^{-5} \mathrm{~T} / \mathrm{s}\) की दर से घट रहा है। यदि लूप का प्रतिरोध \(6 \mathrm{~m} \Omega\) है, तो लूप द्वारा ऊष्मा के रूप में क्षयित शक्ति _______ \(\times 10^{-9} \mathrm{~W}\) है।

माना \(\vec{\alpha}=(\lambda-2) \vec{a}+\vec{b}\) तथा \(\vec{\beta}=(4 \lambda-2) \vec{a}+3 \vec{b}\) दो सदिश दिये गये है जहाँ सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) समरेखीय नहीं है। \(\lambda\) का वह मान, जिसके लिये सदिश \(\vec{\alpha}\) तथा \(\vec{\beta}\) समरेखीय हो, होगा

माना \(f ( x )=2 \cos ^{-1} x +4 \cot ^{-1} x -3 x ^2-2 x +10\), \(x \in[-1,1]\) है। यदि फलन का परिसर \([a, b]\) है, तो \(4 a - b\) बराबर है