एक धातु की डोरी \(A\) को एक दृढ़ आधार से निलंबित किया गया है और इसके मुक्त सिरे से \(M\) द्रव्यमान का एक गुटका जोड़ा गया है। \(2M\) द्रव्यमान का दूसरा गुटका पहली डोरी के निचले सिरे से डोरी \(B\) का उपयोग करके निलंबित किया गया है। डोरी \(A\) और \(B\) के अनुप्रस्थ-काट के क्षेत्रफल समान हैं। डोरी \(A\) और \(B\) की लंबाइयों का अनुपात \(2\) है और उनके यंग प्रत्यास्थता गुणांकों \((Y_A/Y_B)\) का अनुपात \(0.5\) है। \(A\) और \(B\) में विस्तार का अनुपात ______ है।

डोरी \(B\) में तनाव \(2M\) द्रव्यमान के गुटके के कारण है:

\(T_B = 2Mg\)

डोरी \(A\) में तनाव \(M\) और \(2M\) दोनों द्रव्यमानों के गुटकों के कारण है:

\(T_A = Mg + 2Mg = 3Mg\)

एक डोरी में विस्तार हुक के नियम द्वारा दिया जाता है जैसे \(\Delta L = \dfrac{TL}{AY}\)।

डोरी \(A\) और डोरी \(B\) में विस्तार का अनुपात है:

\(\dfrac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left(\dfrac{T_A}{T_B}\right) \left(\dfrac{L_A}{L_B}\right) \left(\dfrac{A_B}{A_A}\right) \left(\dfrac{Y_B}{Y_A}\right)\)

दिया गया है कि \(\dfrac{L_A}{L_B} = 2\), \(\dfrac{A_B}{A_A} = 1\) और \(\dfrac{Y_A}{Y_B} = 0.5 \Rightarrow \dfrac{Y_B}{Y_A} = 2\)।

मानों को अनुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\(\dfrac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left(\dfrac{3Mg}{2Mg}\right) \times (2) \times (1) \times (2)\)

\(\dfrac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6\)

उत्तर: \(6\)