6 m ऊँचाई तथा वर्गाकार अनुप्रस्थ काट वाला एक पात्र ऊर्ध्वाधर रूप से विभाजित है। विभाजक दीवार में 3 m की गहराई पर \(100 \mathrm{~cm}^2\) क्षेत्रफल की कब्जेदार दरवाज़े वाली एक छोटी खिड़की लगी हुई है। पात्र का एक भाग पानी से पूरी तरह भरा हुआ है और दूसरा भाग \(1.5 \times 10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3\) घनत्व वाले द्रव से भरा हुआ है। कब्जेदार दरवाज़े पर कितना बल लगाया जाना चाहिए ताकि वह खुले नहीं?
(गुरुत्वीय त्वरण \(=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\))

यदि \(\overrightarrow{\mathrm{L}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{P}}\) क्रमशः ' m ' द्रव्यमान के एक कण के कोणीय संवेग और रेखीय संवेग को निरूपित करते हैं, जिसका स्थिति सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{r}}=\mathrm{a}(\hat{\mathrm{i}} \cos \omega \mathrm{t}+\hat{\mathrm{j}} \sin \omega \mathrm{t})\) है, तो बल की दिशा है:

पृथ्वी को एकसमान द्रव्यमान घनत्व का गोला मानते हुए, यदि किसी पिण्ड का भार धरातल पर \(200 \mathrm{~N}\) है, तो धरातल से \(d=\frac{R}{2}\) की गहराई पर इसका भार होगा (दिया है, \(\mathrm{R}=\) पृथ्वी की त्रिज्या):

वस्तु और उसके प्रतिबिंब के बीच की दूरी \(\left( \text{magnified by } -\frac{1}{3}\right)\) 30 cm है। प्रयुक्त दर्पण की फोकस दूरी \(\left(\frac{x}{4}\right) \mathrm{cm}\) है,
जहाँ \(x\) के मान का परिमाण _________ है।

यदि वस्तु तथा एक वक्रीय दर्पण द्वारा निर्मित उसके दो गुनी आवर्धित आभासी प्रतिबिम्ब के बीच की दूरी \(15\) सेमी. हैं, तो दर्पण की फोकस दूरी _______ होनी चाहिए।

पूर्व-पश्चिम दिशा में खिंचा हुआ \(5\) मी. लंबा एक क्षैतिज तार \(0.60 \times 10^{-4} \mathrm{Wbm}^{-2}\) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक से समकोण पर \(10 \mathrm{~ms}^{-1}\) की चाल से गिर रहा है। तार में उत्पन्न प्रेरित विद्युत वाहक बल का क्षणिक मान _______ \(\times 10^{-3} \mathrm{~V}\) है।

पथ्वी की वर्तमान त्रिज्या \(( R =6400\, km )\) को \(......\,km\) तक संपीडित किया जाए ताकि पलायन वेग \(10\) गुना बढ़ जाए।

एक फोटोन हाइड्रोजन परमाणु में \(\mathrm{n}=4\) से \(\mathrm{n}=1\) स्तर में संक्रमण में उत्सर्जित होता है। इस सक्रमण के लिये संगत तरंगदैर्ध्य है।

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

यदि रेखाओं \(x \operatorname{cosec} \alpha- y \sec \alpha= kcot 2 \alpha\) तथा \(x \sin \alpha+ y \cos \alpha= k \sin 2 \alpha\) पर मूल बिन्दु से डाले गए लम्बों की लम्बाईयोँ क्रमशः \(p\) तथा \(q\) है, तो \(k ^{2}\) बराबर है

ऊर्जा के समविभाजन के उपयोग से, कक्ष-ताप पर, ऐलुमिनियम की विशिष्ट ऊष्मा \(\left( J kg ^{-1} K ^{-1}\right)\) का अनुमानित मान होगा, (ऐलुमिनियम का परमाणु भार \(=27)\)

दो ब्लॉकों का एक निकाय जिनके द्रव्यमान \(m =2\,kg\) तथा \(M =8\,kg\) है, उन्हे चिकनी टेबल पर चित्रानुसार रखा जाता है। दोनों ब्लॉकों के मध्य र्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.5\) है। अधिकतम क्षैतिज बल \(F\) जो \(M\) द्रव्यमान के ब्लॉक पर आरोपित किया जा सके ताकि दोनों ब्लॉक साथ-साथ चल सके, का मान होगा \(.....\,N\)

यदि \(\left(\sqrt{\frac{1}{x^{1+\log _{10} x}}}+x^{\frac{1}{12}}\right)^{6}\) के द्विपद प्रसार का चौथा पद \(200\) है तथा \(x>1\) है, तो \(x\) का मान है