यदि अवकल समीकरण \(y ^2 dx +\left( x ^2- xy + y ^2\right) dy\) \(=0\) का हल वक्र \(y = y ( x )\) है, तो बिन्दु \((1,1)\) से गुजरता है तथा सरल रेखा \(y =\sqrt{3} x\) को बिन्दु \((\alpha, \sqrt{3} \alpha)\) पर प्रतिच्छेद करता है तो \(\log _e(\sqrt{3}\alpha\) ) का मान होगा

माना \(\alpha\) तथा \(\beta\) समीकरण \(p x^{2}+q x+r=0, p \neq 0\) के मूल हैं। यदि \(p, q, r\) समांतर श्रेढ़ी में हैं तथा \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=4\) है, तो \(|\alpha-\beta|\) का मान है:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान लेने पर, \(\tan ^{-1}(x)+\tan ^{-1}(2 x)=\frac{\pi}{4}\) को संतुष्ट करने वाले \(x\) के धनात्मक वास्तविक मानों की संख्या ........... है।

रेखाओं \(\vec{r}=\left(\dfrac{1}{3}\hat{i}+2\hat{j}+\dfrac{8}{3}\hat{k}\right)+\lambda(2\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k})\) और \(\vec{r}=\left(-\dfrac{2}{3}\hat{i}-\dfrac{1}{3}\hat{k}\right)+\mu(\hat{j}-\hat{k})\), \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\) के बीच की न्यूनतम दूरी है:

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

यदि फलन \(f(x)=2 x^{3}+ a x^{2}+ b x\) के लिए अंतराल \([-1,1]\) में बिंदु \(c =\frac{1}{2}\) पर रोले का प्रमेय लागू है, तो \(2 a + b\) का मान है

माना \(a, b\) दो वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन के लिए \(\mathrm{ab}<0\) है। यदि सम्मिश्र संख्या \(\frac{1+\mathrm{ai}}{\mathrm{b}+\mathrm{i}}\) इकाई मापक की है तथा \(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\) वृत्त, \(|\mathrm{z}-1|=|2 \mathrm{z}|\) पर है, तो \(\frac{1+[\mathrm{a}]}{4 \mathrm{~b}}\) जहाँ \([\mathrm{t}]\) महत्तम पूर्णांक फलन है, का एक संभव मान है:

पाँच प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः \(4\) तथा \(5.20\) है। यदि तीन प्रेक्षण \(3,4\) तथा \(4\) हो, तो अन्य दो प्रेक्षणों के अन्तर का निरपेक्ष मान होगा

एक त्रिभुज \(ABC\) के कोण \(A , B\) तथा \(C\) समान्तर श्रेणी में है तथा \(a : b =1: \sqrt{3}\) है। यदि \(c =4\) सेमी है, तो इस त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) है

दीर्घवृत्त \(x ^2+2 y ^2=4\) पर रिथत बिन्दुओं तथा बिन्दु \((4,3)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ दीर्घवृत्त है जिसकी उत्केन्द्रता है :

माना तीन सदिश \(\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ b }, \overrightarrow{ c }\) परस्पर लंबवत हैं तथा इनके परिमाण बराबर हैं। यदि एक सदिश\(\overrightarrow{ r }\),\(\vec{a} \times\{(\vec{r}-\vec{b}) \times \vec{a}\}+\vec{b} \times\{(\vec{r}-\vec{c}) \times \vec{b}\}+\vec{c} \times\{(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{c}\}=0\),को संतुष्ट करता हैं, तो \(\overrightarrow{ r }\) बराबर है 

एक त्रिभुज \(ABC\) में, \(A\) के निर्देशांक \((1,2)\) हैं तथा \(B\) तथा \(C\) से होकर जाने वाली माध्चिकाओं के समीकरण क्रमशः \(x + y =5\) तथा \(x =4\) हैं, तो \(\Delta ABC\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए कि \(C\) न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त है जो दीर्घवृत्त \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) को परिबद्ध करता है, जिसकी उत्केंद्रता \(\frac{1}{2}\) और नाभियाँ \(( \pm 2,0)\) हैं। मान लीजिए कि PQR एक परिवर्ती त्रिभुज है, जिसका शीर्ष \(P\) वृत्त \(C\) पर है और भुजा \(Q R\) जिसकी लंबाई 29 है, \(E\) के दीर्घ अक्ष के समानांतर है तथा \(E\) के ऋणात्मक \(y\)-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को समाहित करती है। तब त्रिभुज PQR का अधिकतम क्षेत्रफल: