यदि \(10\) भिन्न गेंदें , \(4\) भिन्न बक्सों में यादृच्छया रखी जानी हैं, तो इनमें से दो बक्सों में मात्र \(2\) तथा \(3\) गेंदों के होने की प्रायिकता है 

माना \(\mathrm{ABCD}\) और \(\mathrm{AEFG}\) क्रमशः \(4\) और \(2\) इकाई भुजा के वर्ग हैं। बिंदु \(\mathrm{E}\) रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) पर स्थित है और बिंदु \(\mathrm{F}\) विकर्ण \(\mathrm{AC}\) पर है। तब बिंदु \(\mathrm{F}\) से होकर जाने वाले और रेखाखंडों \(\mathrm{BC}\) तथा \(\mathrm{CD}\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या \(r\) ........... को संतुष्ट करती है।

मान लीजिए कि M, कोटि \(3 \times 3\) के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और मान लीजिए कि \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\) है। मान लीजिए कि
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) और \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
यदि \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), तो \(\alpha\) = ___

माना \(6\) प्रेक्षणों \(1,2,4,5, x\) तथा \(y\) का माध्य \(5\) तथा इनका प्रसरण \(10\) है। तब माध्य के सापेक्ष इसका माध्य विचलन होगा

समाकलन \(\int_1^2\left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) d t\) का मान है

माना \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\) एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है। माना \(f(x) = \int\limits_0^x (t^2 + 2t + 3)\,dt\), जहाँ \(x \in [1, \alpha]\) है। यदि \(M\) और \(m\) क्रमशः \([1, \alpha]\) में \(f\) के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं, तो \(3(M - m)\) बराबर है :

माना एक त्रिभुज की दो भुजाओं के समीकरण \(3 x -2 y +6=0\) तथा \(4 x +5 y -20=0\) हैं। यदि इस त्रिभुज का लम्बकेंद्र \((1,1)\) पर है, तो इसकी तीसरी भुजा का समीकरण है

माना कि \([\bullet]\) महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि \( \alpha=\int_{0}^{64}(x^{1/3}-[x^{1/3}])dx, \) तो \( \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\alpha\pi}(\frac{sin^{2}\theta}{sin^{6}\theta+cos^{6}\theta})d\theta \) = ___ है।

एक आयताकार समांतर षट्फलक का एक शीर्ष मूल बिन्दु \(\mathrm{O}\) पर है और \(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) तथा \(\mathrm{z}\) अक्षों के अनुदिश इसके किनारों (edges) की लम्बाईयाँ क्रमशः \(3,4\) तथा \(5\) इकाई हैं। माना इसका शीर्ष \(P\), बिन्दु \((3,4,5)\) पर है। तब विकर्ण \(O P\) तथा \(z\) अक्ष के समांतर इसके एक किनारे, जो \(\mathrm{O}\) या \(\mathrm{P}\) से होकर नहीं जाता है, के बीच न्यूनतम दूरी है:

यदि फलन \( f(x) = \frac{e^{x}(e^{\tan x-x}-1)+\log_{e}(\sec x+\tan x)-x}{\tan x-x} \) \( x=0 \) पर संतत है, तो \( f(0) \) का मान ___ है।

माना P एक परवलय है, जिसकी नाभि \((-2,1)\) है और नियता \(2 x+y+2=0\) है। तो P पर उन बिंदुओं की कोटियों का योग, जिनका भुज -2 है, वह __________ होगा।

यदि \(x =1\) फलन \(f ( x )=\left(3 x ^{2}+ ax -2- a \right) e ^{ x }\) का एक क्रांतिक बिन्दु (critical point) है, तो

यदि \(A\) और \(B\) दो ऐसी घटनाएँ हैं कि \(P(A \cap B)=0.1\), और \(P(A \mid B)\) तथा \(P(B \mid A)\) समीकरण \(12 x^2-7 x+1=0\) के मूल हैं, तो \(\frac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cup \overline{\mathrm{B}})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})}\) का मान __________ है।