समाकलन \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} d x\) = ...........

यदि त्रिभुज, जो धनात्मक \(x\)-अक्ष तथा वत्त \(( x -2)^{2}+( y -3)^{2}=25\) के बिन्दु \((5,7)\) पर खींचे गए अभिलम्ब तथा स्पर्श रेखा द्वारा बनता है, का क्षेत्रफल \(A\) है, तो \(24 A\) बराबर है

यदि \(\int\left(e^{2 x}+2 e^{x}-e^{-x}-1\right) e^{\left(e^{x}+e^{-x}\right)} d x\) \(= g ( x ) e ^{\left( e ^{ x }+ e ^{- x }\right)}+ c\) है, जहाँ \(c\) एक समाकलन अचर है, तो \(g (0)\) बराबर है 

मान लीजिए किसी अनुक्रम का पहला पद \(T_1=6\) है और इसका \(\mathrm{r}^{\text {th }}\) पद \(T_r=3 T_{r-1}+6^r, r=2,3, \ldots . ., n\). यदि इस अनुक्रम के पहले \(\mathrm{n}\) पदों का योग \(\frac{1}{5}\left(n^2-12 n+39\right)\) \(\left(4.6^n-5.3^n+1\right)\) है, तो \(\mathrm{n}\) = ...........

माना \(f_{k}(x)=\frac{1}{k}\left(\sin ^{k} x+\cos ^{k} x\right)\) है, जहाँ \(x \in R\) तथा \(k \geq 1\) है, तो \(f_{4}(x)-f_{6}(x)\) बराबर है:

निम्न में से कौन सा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध \(R\) के लिए सही नही है ?

\(3\) मी. तिर्यक \((slant)\) ऊँचाई वाले लंबवृत्तीय शंकु का अधिकतम आयतन \((\)घन मी. में\()\) है-

फलन \(f ( x )= xe ^{ x (1- x )}, x \in R\),

मान लीजिए कि \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) एक ऐसा द्वि-अवकलनीय फलन है कि सभी \(\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbf{R}\) के लिए \((\sin x \cos y)(f(2 x+2 y)-f(2 x-2 y))=(\cos x\) \(\sin \mathrm{y})(f(2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})+f(2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}))\) है। यदि \(f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\) है, तो \(24 f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)\) का मान क्या है?

मान लीजिए \(O\) मूल-बिंदु है, बिंदु \(A\) \(z_1=\sqrt{3}+2 \sqrt{2} i\) है, बिंदु \(B\left(z_2\right)\) इस प्रकार है कि \(\sqrt{3}\left|z_2\right|=\left|z_1\right|\) और \(\arg \left(z_2\right)=\arg \left(z_1\right)+\frac{\pi}{6}\)। तब,

मान लीजिए \(A\) एक \(3 \times 3\) आव्यूह है इस प्रकार कि सभी अशून्य \(3 \times 1\) आव्यूहों \(X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\) के लिए \(X^T A X=O\) है। यदि \(\mathbf{A}\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right], \mathbf{A}\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]\), और \(\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(\mathbf{A}+\mathbf{1})))-2^\alpha 3^\beta 5^\gamma, \alpha, \beta, \gamma \in N\), तो \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\) = ___

माना परवलय \(x^{2}=8 y\) का शीर्ष \(O\) तथा उस पर कोई बिंदु \(Q\) है। यदि बिंदु \(P\), रेखाखंड \(O Q\) को \(1: 3\) के आंतरिक अनुपात में बाँटता है, तो \(P\) का बिंदुपथ है

माना \(\quad \overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\alpha \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{c}}=\beta \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\), जहाँ \(\alpha\) और \(\beta\) पूर्णांक हैं और \(\alpha \beta=-6\)। क्रमित युग्म \((\alpha, \beta)\) के मान जिनके लिए विकर्णों \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{b}+\vec{c}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है, \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) और \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) हैं। तो \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2\) = ...........