\(\sum_{r=0}^{6}\left({ }^{6} C _{r} \cdot{ }^{6} C _{6- r }\right)\) का मान बराबर है

यदि \( z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}, i=\sqrt{-1} \) है, तो \( (z^{201}-i)^{8} \) = ___ है।

यदि \(8=3+\frac{1}{4}(3+p)+\frac{1}{4^2}(3+2 p)+\frac{1}{4^3}(3+3 p)+\ldots \infty\) है, तो \(\mathrm{p}\) का मान ........... है।

मान लीजिए \(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\) एक समांतर श्रेढ़ी (A. P.) का \(\mathrm{n}^{\text {th }}\) पद है।
यदि \(S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=700, a_6=7\) और \(S_7=7\), तब \(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\) = __________

माना \(f(\mathrm{x})= \begin{cases}(1+\mathrm{ax})^{1 / \mathrm{x}} & , \quad \mathrm{x} \lt 0 \\ 1+\mathrm{b} & , \quad \mathrm{x}=0 \\ \frac{(\mathrm{x}+4)^{1 / 2}-2}{(\mathrm{x}+\mathrm{c})^{1 / 3}-2} & ,\end{cases}\)
\(x=0\) पर संतत है। तो \(e^a b c\) = ___

यदि एक चर रेखा \(3 x+4 y-\lambda=0\) इस प्रकार है कि दो वृत्त \(x ^{2}+ y ^{2}-2 x -2 y +1=0\) तथा \(x ^{2}+ y ^{2}-18 x -2 y +78=0\) इसके दोनों ओर (opposite sides) हैं, तो \(\lambda\) के सभी मानों का समुच्चय निम्न में से कौनसा अन्तराल है 

माना \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) वर्धमान धनात्मक संख्याओं की एक \(G.P.\) है। माना इसके छठे और आठवें पदों का योग \(2\) है तथा इसके तीसरे और पाँचवें पदों का गुणनफल \(\frac{1}{9}\) है। तो \(6\left(a_2+a_4\right)\left(a_4+a_6\right)\) बराबर है।

माना बिन्दु \((3,-2,5)\) से होकर जाने वाले तथा बिन्दुओं \((1,2,3)\) तथा \((-2,3,5)\) को मिलाने वाली रेखा के लंबवत समतल का समीकरण \(\alpha x+\beta y+y z=1\) है। तो \(\alpha \beta y\) का मान बराबर है______________.

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

मान लीजिए कि अऋणात्मक संख्याओं \(21, 8, 17, a, 51, 103, b, 13, 67, (a > b)\) के माध्य और माध्यिका क्रमशः \(40\) और \(21\) हैं। यदि माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन \(26\) है, तो \(2a\) बराबर है:

\(p , q \in R , q > 0\), के लिए वास्तविक मान फलन \(f ( x )=( x - p )^2- q , x \in R\) का विचार कीजिए। माना \(a _1, a _2, a _3\) तथा \(a _4\) एक धनात्मक सार्व अंतर की संमातर श्रेढ़ी में हैं तथा इनका माध्य \(p\) है। यदि \(i=1,2,3,4\) के लिए \(\left|f\left(a_i\right)\right|=500\) है, तो \(f ( x )=0\) के मूलों का निरपेक्ष अंतर है \(...........\)

यदि \(y = y ( x )\), अवकल समीकरण \(\frac{ dy }{ dx }=(\tan x-y) \sec ^{2} x , x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) जबकि \(y (0)=0\) का हल है, तो \(y \left(-\frac{\pi}{4}\right)\) बराबर है

\(n\) प्रेक्षणों का माध्य और प्रसरण क्रमशः \(8\) और \(16\) हैं। यदि प्रथम \((n-1)\) प्रेक्षणों का योग \(48\) है और प्रथम \((n-1)\) प्रेक्षणों के वर्गों का योग \(496\) है, तो \(n\) का मान है: