माना \(n >2\) एक पूर्णाक है तथा एक शहर में \(n\) मेट्रो स्टेशन है, जो एक वृत्ताकार पथ पर स्थित है। प्रत्येक दो स्टेशन एक सीधे ट्रैक (Track) से जोड़े गए है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक दो निकटतम स्टेशन ब्लू लाईन (Blue line) से तथा अन्य सभी दो स्टेशन रेड लाईन (Red line) से जोड़े गए है। यदि रेड लाईन्स की संख्या ब्लू लाईन्स की संख्या का \(99\) गुना है, तो \(n\) का मान है -

बिंदुओं \((5,-1,4)\) तथा \((4,-1,3)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का समतल \(x+y+z=7\) पर डाले गए प्रक्षेप की लम्बाई है

माना \(S_{1}: x^{2}+y^{2}=9\) तथा \(S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1\) हैं। तो एक चर वत्त \(S\), जो \(S _{1}\) को अंदर से स्पर्श करता है तथा \(S _{2}\) को बाहर से स्पर्श करता है, के केन्द्र का बिंदुपथ हमेशा निम्न में से किन बिंदुओं से होकर जाता है?

माना बिन्दु \(P (1,2,3)\) से समतल \(x +2 y + z =14\) पर डाले गए लंब का पाद \(Q\) है। माना समतल पर बिन्दु \(R\) के लिए \(\angle PRQ =60^{\circ}\) है, तो \(\triangle PQR\) का क्षेत्रफल बराबर है

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है

एक अतिपरवलय \(H\) के शीर्ष \(( \pm 6,0)\) है, तथा उत्केन्द्रता \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) है। माना प्रथम चतुर्थांश में \(\mathrm{H}\) के एक बिन्दु पर रेखा \(\sqrt{2} \mathrm{x}+\mathrm{y}=2 \sqrt{2}\) के समान्तर अभिलम्ब \(\mathrm{N}\) है। यदि \(\mathrm{N}\) के \(\mathrm{H}\) तथा \(\mathrm{y}\)-अक्ष के बीच रेखाखंड की लम्बाई \(\mathrm{d}\) है, तो \(\mathrm{d}^2\) बराबर है_____________. 

माना \(S =\{ z \in C :| z -2| \leq 1, z (1+ i )+\overline{ z }(1-i) \leq 2\}\) है। माना \(|z-4 i|\) के न्यूनतम तथा अधिकतम मान क्रमशः \(z _1 \in S\) तथा \(z _2 \in S\) पर है। यदि \(5\left(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right)=\alpha+\beta \sqrt{5}\) है, जहाँ \(\alpha\) तथा \(\beta\) पूर्णाक है, तो \(\alpha+\beta\) का मान है \(.........\)

\(\lim\limits _{n \rightarrow \infty} 6 \tan \left\{\sum\limits_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{r^{2}+3 r+3}\right)\right\}\) का मान है।

यदि \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\left(e^{4 x}-1\right)}{a x\left(e^{4 x}-1\right)}\) का अस्तित्व है तथा यह \(b\) के बराबर है, तो \(a -2 b\) का मान है ............ |

यदि दिए गए आँकड़ों का माध्य और प्रसरण

वर्ग	4-8	8-12	12-16	16-20
बारंबारता	3	\(\lambda\)	4	7

क्रमशः \(\mu\) और 19 हैं, तो \(\lambda+\mu\) का मान ___ है।

समतल भूमि पर एक बिंदु \(P\) से एक ऊध्र्वाधर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \(\alpha\) पाया गया। \(P\) से मीनार के पाद की ओर \(2\) मी. जाने पर, उन्नयन कोण बदल कर \(\beta\) हो जाता है, तो (मी.में) मीनार की ऊँचाई है

माना \(A\), अंकों \(0,1,2,3,4,5,6\) द्वारा बिना पुनरावत्ति के बनाई गई \(6\) अंकों की संख्या के \(3\) से विभाजित होने की घटना को दर्शाता है। तो घटना \(A\) की प्रायिकता बराबर है

यदि बिंदु \((\beta, 0, \beta)(\beta \neq 0)\) से रेखा \(\frac{x}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z+1}{-1}\) पर खीचें गए लंब की लंबाई \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) है, तो \(\beta\) बराबर है