माना \(A\), अंकों \(0,1,2,3,4,5,6\) द्वारा बिना पुनरावत्ति के बनाई गई \(6\) अंकों की संख्या के \(3\) से विभाजित होने की घटना को दर्शाता है। तो घटना \(A\) की प्रायिकता बराबर है

मान लीजिए \(S=\mathbf{N} \cup\{0\}\). S से \(\mathbf{R}\) पर एक संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है :
\(\mathrm{R}=\left\{(x, y): \log _{\mathrm{e}} y=x \log _{\mathrm{e}}\left(\frac{2}{5}\right), x \in \mathrm{~S}, y \in \mathbf{R}\right\}\)
तो, \(R\) के परिसर में सभी अवयवों का योग = __________

निम्न रेखीय समीकरण का विचार कीजिए : \(-x+y+2 z=0\) \(3 x-a y+5 z=1\) \(2 x-2 y-a z=7\) माना \(a \in R\) के सभी मानों, जिनके लिए यह निकाय असंगत है, का समुच्चय \(S_{1}\) है तथा \(a \in R\) के सभी मानों, जिनके लिए इस निकाय के अनंत हल है, का समुच्चय \(S _{2}\) है। यदि \(S _{1}\) तथा \(S _{2}\) में अवयवों की संख्या क्रमशः \(n \left( S _{1}\right)\) तथा \(n \left( S _{2}\right)\) है, तब

यदि \(\overrightarrow{ a }\) तथा \(\overrightarrow{ b }\) एकक सदिश है तो \(\sqrt{3}|\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }|+|\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ b }|\) का अधिकतम मान है

माना \(p, q \in \mathbb{R}\) तथा \((1-\sqrt{3} i)^{200}=2^{199}(p+i q)\), \(\mathrm{i}=\sqrt{-1}\) तो \(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{q}^2\) तथा \(\mathrm{p}-\mathrm{q}+\mathrm{q}^2\) किस समीकरण के मूल हैं ?

माना \(P_{1}:y=4x^{2}\) और \(P_{2}:y=x^{2}+27\) दो परवलय हैं। यदि \(P_{1}\) और \(P_{2}\) के मध्य परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल, रेखा \(y=\alpha x, \alpha>0\) और \(P_{1}\) से घिरे परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल का छह गुना है, तो \(\alpha\) = ___ है।

एकैकी फलन \(f :\{ a , b , c , d \} \rightarrow\{0,1,2, \ldots, 10\}\) की संख्या, ताकि \(2 f ( a )- f ( b )+3 f ( c )+ f ( d )=0\) है, होगी

यदि \(\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots \ldots . n \text { पदों तक }}{1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+\ldots \ldots . n \text { पदों तक }}=\frac{9}{5}\) है, तो \(\mathrm{n}\) का मान है

\(\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}\) का मान है 

फलन \(f(x)=\text{Sgn}(\sin x)+\text{Sgn}(\cos x)+\text{Sgn}(\tan x)+\text{Sgn}(\cot x), x\ne\frac{n\pi}{2}, n\in Z\) के परिसर में सभी अवयवों का योग, जहाँ \(\operatorname{Sgn}(t)=\left\{\begin{array}{l}1, \quad \text { if } \quad t>0 \\ -1 \quad \text {if } \quad t<0\end{array}\right.\), वह ___ है।

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

माना स्वतंत्र घटनाओं \(A\) तथा \(B\) के लिए \(P ( A )= p\) तथा \(P ( B )=2 p\) हैं। तो \(p\) का अधिकतम मान, जिसके लिए \(P ( A\) तथा \(B\) में से ठीक एक घटित होती है \()=\frac{5}{9}\) है

समतलों \(x + y + z =1\) तथा \(2 x +3 y - z +4=0\) के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाला समतल, जो \(y\) अक्ष के समान्तर है वह समतल किस बिन्दु से गुजरेगा ?