माना किसी फलन \(\mathrm{y}=f(x)\) के लिए, \(\int_0^x t f(t) d t=x^2 f(x), x\gt0\) तथा \(f(2)=3\) है। तो \(f(6)\) = ___

माना \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) एक फलन इस प्रकार है कि \(\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{y}) \forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{N}\) है। यदि \(\mathrm{f}(1)=3\) तथा \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}(\mathrm{k})=3279\), तो \(\mathrm{n}\) का मान है:

माना दीर्घवत्त \(E : x ^{2}+4 y ^{2}=5\) के बिन्दु \(P (1,1)\) पर स्पर्श रेखा \(T\) है। यदि स्पर्श रेखा \(T\), दीर्घवत्त \(E\) तथा रेखाओं \(x =1\) और \(x =\sqrt{5}\) द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\alpha \sqrt{5}+\beta+\gamma \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\) है, तो \(|\alpha+\beta+\gamma|\) बराबर है ............ |

यदि रेखाओं \(\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}\) तथा \(\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}\) के बीच न्यूनतम दूरी \(\frac{6}{\sqrt{5}}\) है, तो \(\lambda\) के सभी संभव मानों का योग ........... है।

दो सदिशों \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) पर विचार कीजिए। उनके बीच का कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) द्वारा दिया गया है। माना \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), जहाँ \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) के लंबवत है। तो \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) का मान क्या है?

उन बिन्दुओं, जहाँ वक्र \(f(x)=e^{8 x}-e^{6 x}-3 e^{4 x}-e^{2 x}+1, x \in \mathbb{R}, x\)-अक्ष को काटता है, की संख्या है_______

\(15\) प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः \(12\) तथा 3 प्राप्त किए गए। पुनः जाँच पर यह पाया गया कि एक प्रेक्षण को \(12\) की जगह \(10\) पढ़ा गया था। यदि सही प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः \(\mu\) तथा \(\sigma^2\) है, तो \(15\left(\mu+\mu^2+\sigma^2\right)\) = ...........

समीकरण \(1+\sin ^{4} x =\cos ^{2} 3 x , x \in\left[-\frac{5 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]\) के हलों की संख्या हैं

एक समतल में 12 बिंदु हैं, जिनमें से कोई भी तीन एक ही सीधी रेखा में नहीं हैं, सिवाय 5 बिंदुओं के जो संरेख हैं। तब इन 12 बिंदुओं में से किन्हीं तीन को शीर्षों के रूप में लेकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या कितनी है?

माना \(x ^{2}-3 x + p =0\) के मूल \(\alpha\) तथा \(\beta\) एवं \(x ^{2}-6 x + q =0\) के मूल \(\gamma\) तथा \(\delta\) है। यदि \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में है। तब अनुपात \((2 q+p):(2 q-p)\) होगा

माना समीकरण \(x^2-x+2=0\) के मूल \(\alpha, \beta\) है, तथा \(\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)\) है। तो \(\alpha^6+\alpha^4+\beta^4-5 \alpha^2\) = ...........

माना \(\overrightarrow{ b }=\hat{ i }+\hat{ j }+\lambda \hat{ k }, \lambda \in R\) यदि \(\overrightarrow{ a }\) एक सदिश इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b }=13 \hat{ i }-\hat{ j }-4 \hat{ k }\) तथा \(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }+21=0\) है, तब \((\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ a }) \cdot(\hat{ k }-\hat{ j })+(\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ a }) \cdot(\hat{ i }-\hat{ k })\) बराबर होगा-

रेखाओं \(\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}\) तथा \(\frac{ x +3}{2}=\frac{ y -6}{1}=\frac{ z -5}{3}\) के मध्य लघुत्तम दूरी है :