रेखाओं \(\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}\) तथा \(\frac{ x +3}{2}=\frac{ y -6}{1}=\frac{ z -5}{3}\) के मध्य लघुत्तम दूरी है :

माना बिन्दु \(( a , b , c )\) का समतल \(3 x-4 y+12 z+19=0\) के सापेक्ष में दर्पण प्रतिबिम्ब \(( a -6, \beta, \gamma)\) है। यदि \(a + b + c =5\) है तब \(7 \beta-9 \gamma\) बराबर होगा।

एक उच्च माध्यमिक विद्यालय के \(220\) छात्रों के सर्वेक्षण में, यह पाया गया कि कम से कम \(125\) और अधिक से अधिक \(130\) छात्रों ने गणित का अध्ययन किया; कम से कम \(85\) और अधिक से अधिक \(95\) ने भौतिकी का अध्ययन किया; कम से कम \(75\) और अधिक से अधिक \(90\) ने रसायन विज्ञान का अध्ययन किया; \(30\) ने भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन किया; \(50\) ने रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन किया; \(40\) ने गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन किया और \(10\) ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए \(\mathrm{m}\) और \(\mathrm{n}\) क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया। तो \(\mathrm{m}+\mathrm{n}\) = ...........

\(\int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+ e ^{\sin x }} dx\) का मान है 

माना अवकल समीकरण \(\left(\log _{\mathrm{e}}(\cos y)\right)^2 \cos \mathrm{ydx}-\) \(\left(1+3 \mathrm{x} \log _{\mathrm{e}}(\cos \mathrm{y})\right) \sin \mathrm{y} \mathrm{dy}=0\) का हल वक्र \(x=x(y), 0\) \(0 < y < \frac{\pi}{2} ; x\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2 \log _e 2}\) को संतुष्ट करता है। यदि \(x\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\log _e m-\log _e n}\) है, जहाँ \(\mathrm{m}\) तथा \(\mathrm{n}\) सहअभाज्य हैं, तो \(\mathrm{mn}\) बराबर है

बिंदुओं \((0,2)\) तथा \((0,-2)\) से होकर जाने वाले वृत्तों के निकाय का अवकल समीकरण है

माना बिन्दु \((3,-2,5)\) से होकर जाने वाले तथा बिन्दुओं \((1,2,3)\) तथा \((-2,3,5)\) को मिलाने वाली रेखा के लंबवत समतल का समीकरण \(\alpha x+\beta y+y z=1\) है। तो \(\alpha \beta y\) का मान बराबर है______________.

माना कि एक वृत्त \(C\) जिसका केंद्र प्रथम चतुर्थांश में है, निर्देशांक अक्षों को ठीक तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है और निर्देशांक अक्षों से समान अंतःखंड काटता है। यदि रेखा \(x + y = 1\) पर \(C\) की जीवा की लंबाई \(\sqrt{14}\) है, तो \(C\) की त्रिज्या का वर्ग _______ है।

\(\left(\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^n\) के प्रसार में, जहाँ \(\mathrm{n} \in \mathrm{N}\) है, यदि प्रारंभ से \(15^{\text {at }}\) पद का अंत से \(15^{\text {th }}\) पद के साथ अनुपात \(\frac{1}{6}\) है, तो \({ }^n C_3\) का मान है:

माना \(A =\left[\begin{array}{lll} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right]\) है, जहाँ \(x , y\) तथा \(z\) वास्तविक संख्याऐं है, जिनके लिए \(x+y+z>0\) तथा \(x y z=2\) है। यदि \(A ^{2}= I _{3}\) है, तो \(x ^{3}+ y ^{3}+ z ^{3}\) का मान है ..... |

माना \(\left(\mathrm{x}-\frac{3}{\mathrm{x}^2}\right)^{\mathrm{n}}, \mathrm{x} \neq 0, \mathrm{n} \in \mathrm{N}\), के प्रसार में प्रथम तीन पदों के गुणांको का योग 376 है। तो \(\mathrm{x}^4\) का गुणांक ___________ है।

वृत्त C का केंद्र दीर्घवृत्त \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a \gt b\) के केंद्र पर है। माना C, E के नाभियों \(F_1\) और \(F_2\) से होकर गुजरता है इस प्रकार कि वृत्त C और दीर्घवृत्त E चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना P इन चार बिंदुओं में से एक है। यदि त्रिभुज \(\mathrm{PF}_1 \mathrm{~F}_2\) का क्षेत्रफल 30 है और E के दीर्घ अक्ष की लंबाई 17 है, तो E की नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

\(\int_0^{20 \pi}(|\sin x |+|\cos x |)^2 dx\) बराबर है :-