माना \(f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)\)\(f(x)=\int_{0}^{x}[y] d y\) द्वारा परिभाषित है, जबकि \([ x ]\) महत्तम पूर्णाक \(\leq x\) है। तो निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है ?

A \([0, \infty)\) के प्रत्येक बिन्दु पर \(f\) संतत है और पूर्णाक बिन्दुओ के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय है।
B पूर्णाक बिन्दुओं के अतिरिक्त, \([0, \infty)\) के सभी बिन्दुओं पर \(f\) संतत तथा अवकलनीय दोनों है।
C पूर्णांक बिन्दुओं के अतिरिक्त, \([0, \infty)\) के सभी बिन्दुओं पर \(f\) संतत है।
D \([0, \infty)\) के प्रत्येक बिन्दु पर \(f\) अवकलनीय है।

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(C) पूर्णांक बिन्दुओं के अतिरिक्त, \([0, \infty)\) के सभी बिन्दुओं पर \(f\) संतत है।

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(\mathrm{f}:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), \mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_{0}^{\mathrm{x}}[\mathrm{y}] \mathrm{d} \mathrm{y}\) \(\text { Let } x=n+f, f \in(0,1)\) \(\text { So } f(x)=0+1+2+\ldots+(n-1)+\int_{n}^{n+f} n \,d y\) \(f(x)=\frac{n(n-1)}{2}+n f\)…

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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