माना \(a _{1}, a _{2}, \ldots \ldots, a _{21}\) समांतर श्रेढ़ी में इस प्रकार हैं कि \(\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{4}{9}\) है। यदि इस समांतर श्रेढ़ी का योगफल 189 है, तब \(a _{6} a _{16}\) बराबर है

माना किसी \(r_1, r_2 \in R\) के लिए रेखा \(45 x+5 y+3=0\) की प्रवणता \(27 r_1+\frac{9 r_2}{2}\) है। तो \(\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 3}\left(\int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} d t\right)\) = ...........

यदि \([ x ]\) महत्तम पूर्णाक \(\leq x\) है, तो समाकलन \(\int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2}[[ x ]-\sin x ] dx\) का मान बराबर है

दो अशून्य सम्मिश्र संख्या \(\mathrm{z}_1\) तथा \(\mathrm{z}_2\) के लिये यदि \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1 \mathrm{z}_2\right)=0\) तथा \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1+\mathrm{z}_2\right)=0\) हो, तो निम्न में से कौनसा संभव है ? (\(A\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(B\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(C\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) (\(D\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) नीचे दिये गये विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए :

यदि \(\frac{3}{1^{2}}+\frac{5}{1^{2}+2^{2}}+\frac{7}{1^{2}+2^{2}+3^{2}}+\ldots \ldots .+\) के \(20\) पदों तक का योग \(\frac{ k }{21}\) के बराबर है, तो \(k\) बराबर है 

समाकल \(\int_0^\pi \frac{8 x d x}{4 \cos ^2 x+\sin ^2 x}\) = ___

मान लीजिए कि \(z \in C\) इस प्रकार है कि \(\frac{z^2+3 i}{z-2+i}=2+3 i\) है। तब \(z^2\) के सभी संभावित मानों का योग है:

\(\left(7^{1 / 5}-3^{1 / 10}\right)^{60}\) के द्विपद प्रसार में अपरिमेय पदों की कुल संख्या होगी

माना \(\mathrm{ABCD}\) और \(\mathrm{AEFG}\) क्रमशः \(4\) और \(2\) इकाई भुजा के वर्ग हैं। बिंदु \(\mathrm{E}\) रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) पर स्थित है और बिंदु \(\mathrm{F}\) विकर्ण \(\mathrm{AC}\) पर है। तब बिंदु \(\mathrm{F}\) से होकर जाने वाले और रेखाखंडों \(\mathrm{BC}\) तथा \(\mathrm{CD}\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या \(r\) ........... को संतुष्ट करती है।

यदि रेखा \(x=y=z\) रेखा \(x \sin A+y \sin B+\) \(\mathrm{z} \sin \mathrm{C}-18=0=\mathrm{x} \sin 2 \mathrm{~A}+\mathrm{y} \sin 2 \mathrm{~B}+\mathrm{z} \sin 2 \mathrm{C}-9\), को काटती है, जहाँ \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) एक त्रिभुज \(\mathrm{ABC}\) का कोण हैं, तो \(80\left(\sin \frac{\mathrm{A}}{2} \sin \frac{\mathrm{B}}{2} \sin \frac{\mathrm{C}}{2}\right)\) बराबर है :

थैले \(A\) में \(2\) सफेद,\(1\) काली तथा \(3\) लाल गेंदे है तथा थैले \(B\) में \(3\) काली, \(2\) लाल तथा \(n\) सफेद गेंदे है। एक थैला यादृच्छया चुना जाता है तथा उसमें से यादृच्छिक रूप से \(2\) गेंदे निकाली जाती है जो \(1\) लाल तथा \(1\) काली पायी जाती है। यदि थैले \(A\) से दोनों के आने की प्रायिकता \(\frac{6}{11}\) है \(n\) बराबर है \(...............\)

\(\mathrm{m}\) कोटि के एक वर्ग आव्यूह \(\mathrm{A}\) का सारणिक \(\mathrm{m}-\mathrm{n}\) है, जहाँ \(\mathrm{m}\) तथा \(\mathrm{n}\) समीकरणों \(4 \mathrm{~m}+\mathrm{n}=22\) तथा \(17 m+4 n=93\) को संतुष्ट करते हैं। यदि \(\operatorname{det}(n \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(m A)))=3^a 5^b 6^c\) है, तो \(a+b+c\) बराबर है :

समीकरण \(\tan^{-1}4x+\tan^{-1}6x=\frac{\pi}{6}\) के हलों की संख्या, जहाँ \(-\frac{1}{2\sqrt{6}}< x <\frac{1}{2\sqrt{6}}\) है, वह ___ है।