मान लीजिए \(e\) प्राकृतिक लघुगणक का आधार है और मान लीजिए \(f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, e, e^2, e^3\}\) तथा \(g: \{1, e, e^2, e^3\} \rightarrow \left\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}\right\}\) दो एकैकी आच्छादक फलन हैं इस प्रकार कि \(f\) निरंतर ह्रासमान है और \(g\) निरंतर वर्धमान है। यदि \(\phi(x) = \left[f^{-1}\left\{g^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right\}\right]^x\) है, तो क्षेत्र \(R = \{(x, y): x^2 \leq y \leq \phi(x), 0 \leq x \leq 1\}\) का क्षेत्रफल है:

यदि रेखा \(\alpha x+2y=1\), जहाँ \(\alpha\in\mathbb{R}\), अतिपरवलय \(x^{2}-9y^{2}=9\) को प्रतिच्छेद नहीं करती है, तो \(\alpha\) का एक संभावित मान ___ है।

कथन \(-1\) : समाकलन \(\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}\) का मान \(\pi / 6\) है। कथन \(- 2: \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x .\)

बिन्दु \((1,-2,3)\) की समतल \(x-y+z=5\) से रेखा \(\frac{ x }{2}=\frac{ y }{3}=\frac{ z }{-6}\) के समांतर मापी गई दूरी है :

\(4+\frac{1}{5+\frac{1}{4+\frac{1}{5+\frac{1}{4+\ldots \ldots . \infty}}}}\) का मान है 

माना एक त्रिभुज \(ABC\) के लिए \(\overrightarrow{ BC }=\overrightarrow{ a }\), \(\overrightarrow{ CA }=\overrightarrow{ b }, \overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ c },|\overrightarrow{ a }|=6 \sqrt{2},|\overrightarrow{ b }|=2 \sqrt{3}\) तथा \(\overrightarrow{ b } \cdot \overrightarrow{ c }=12\) हैं। माना कथनों : \((S1)\): \(|(\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b })+(\overrightarrow{ c } \times \overrightarrow{ b })|-|\overrightarrow{ c }|=6(2 \sqrt{2}-1)\) \((S2)\): \(\angle ABC =\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\) है। तब

तीन घटनाओं \(A , B\) तथा \(C\) की प्रायिकताएं \(P ( A )=0.6\), \(P ( B )=0.4\) तथा \(P ( C )=0.5\) है। यदि \(P ( A \cup B )=0.8\), \(P ( A \cap C )=0.3, P ( A \cap B \cap C )=0.2, P ( B \cap\) \(C )=\beta\) तथा \(P ( A \cup B \cup C )=\alpha\), जहाँ \(0.85 \leq \alpha \leq 0.95\), तो \(\beta\) निम्न में से किस अंतराल में है 

\(\mathop \smallint \limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {2^x}}}dx\) का मान है

यदि फलन \(f(x)=\frac{5-x}{x^2-3 x+2}\), \(x \neq 1,2\) का परिसर \((-\infty, \alpha] \cup[\beta, \infty)\) है, तो \(\alpha^2+\beta^2\) = __________

यदि सम्मिश्र संख्या \(z =\frac{3+2 i \cos \theta}{1-3 i \cos \theta}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) का वारतविक भाग शून्य है, तो \(\sin ^{2} 3 \theta+\cos ^{2} \theta\) का मान बराबर है

श्रेणी \(1+3+11+25+45+71+.\). के 20 पदों तक का योग = __________

एक उच्च माध्यमिक विद्यालय के \(220\) छात्रों के सर्वेक्षण में, यह पाया गया कि कम से कम \(125\) और अधिक से अधिक \(130\) छात्रों ने गणित का अध्ययन किया; कम से कम \(85\) और अधिक से अधिक \(95\) ने भौतिकी का अध्ययन किया; कम से कम \(75\) और अधिक से अधिक \(90\) ने रसायन विज्ञान का अध्ययन किया; \(30\) ने भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन किया; \(50\) ने रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन किया; \(40\) ने गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन किया और \(10\) ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए \(\mathrm{m}\) और \(\mathrm{n}\) क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया। तो \(\mathrm{m}+\mathrm{n}\) = ...........

मान लीजिए कि \(f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) एक अवकलनीय फलन है इस प्रकार कि सभी \(\mathrm{x} \in[0, \infty)\) के लिए \(f(\mathrm{x})=1-2 \mathrm{x}+\int_0^x e^{x-t} f(t) \mathrm{dt}\) है।
तब \(\mathrm{y}=f(\mathrm{x})\) और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ___ है।