एक क्षेत्र \(R =\left\{( x , y ) \in R ^{2}: x ^{2} \leq y \leq 2 x \right\}\) पर विचार कीजिए। यदि एक सरल रेखा \(y =\alpha\), क्षेत्र \(R\) के क्षेत्रफल को दोबराबर भागों में बांटती है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है ?

माना \(f ( x )=15-\mid x -10 \mid ; x \in R\) है, तो \(x\) के उन सभी मानों का समुच्चय, जिन पर फलन \(g ( x )= f ( f ( x ))\) अवकलनीय नही हैं, है :

यदि एक नियमित बहुभुज के विकर्णों की संख्या \(54\) है, तो बहुभुज के भुजाओं की संख्या है

क्षेत्र \(\left\{( x , y ): 0 \leq y \leq x ^{2}+1,0 \leq y \leq x +1\right.\), \(\left.\frac{1}{2} \leq x \leq 2\right\}\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है

माना \(P =\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & \alpha \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right]\) है, जबकि \(\alpha \in R\) है। माना \(Q =\left[ q _{ ij }\right]\) एक आव्यूह है, जिसके लिए \(PQ = kI _{3}\), किसी शून्येतर, \(k \in K\) के लिए, है। यदि \(q _{23}=-\frac{ k }{8}\) तथा \(| Q |=\frac{ k ^{2}}{2}\) है, तो \(\alpha^{2}+ k ^{2}\) बराबर है

मान लीजिए कि \(A\) कोटि 3 का एक वर्ग आव्यूह है इस प्रकार है कि \(\operatorname{det}(A)=-2\) और \(\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3 A)))=2^{\mathrm{m}+\mathrm{n}} \cdot 3^{\mathrm{mn}}, \mathrm{m}\gt\mathrm{n}\) है। तो \(4 \mathrm{~m}+2 \mathrm{n}\) = ___

माना समीकरणों \(\mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+[\mathrm{x}]+31=0\) तथा \(x^2-5|x+2|-4=0\) के वास्तविक मूलों की संख्या \(\mathrm{m}\) तथा \(\mathrm{n}\) है, जहाँ \([\mathrm{x}]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq \mathrm{x}\) है। तो \(\mathrm{m}^2+\mathrm{mn}+\mathrm{n}^2\) बराबर है_____.

\(y - x =2\) तथा \(x ^{2}= y\) द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर 

माना \(\quad \overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\alpha \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{c}}=\beta \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\), जहाँ \(\alpha\) और \(\beta\) पूर्णांक हैं और \(\alpha \beta=-6\)। क्रमित युग्म \((\alpha, \beta)\) के मान जिनके लिए विकर्णों \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{b}+\vec{c}\) वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) है, \(\left(\alpha_1, \beta_1\right)\) और \(\left(\alpha_2, \beta_2\right)\) हैं। तो \(\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2\) = ...........

वक्र \(y ( x )= ax ^3+ bx ^2+ cx +5, x\)-अक्ष को बिंदु \(P (-2,0)\) पर स्पर्श करता है तथा \(y\)-अक्ष को बिंदु \(Q\) पर काटता है, जहाँ \(Q\) पर \(y ^{\prime}\) का मान \(3\) है। तो \(y ( x )\) का स्थानीय उच्चतम मान है:

\(3 n\) संख्याओं का एक समुच्चय है, जिसका प्रसरण \(4\) है। इस समुच्चय में, प्रथम \(2 n\) संख्याओं का माध्य \(6\) है तथा शेष \(n\) संख्याओं का माध्य \(3\) है। प्रथम \(2 n\) संख्याओं में प्रत्येक में \(1\) जोड़कर तथा शेष \(n\) संख्याओं में प्रत्येक से \(1\) घटा कर एक नया समुच्चय बनाया गया है। यदि नये समुच्चय का प्रसरण \(k\) है, तो \(9 k\) बराबर .............. है ।

यदि वक्रो \(y^2-2 y=-x, x+y=0\) से घिरे एक क्षेत्रफल \(\mathrm{A}\) है, तो \(8 \mathrm{~A}\) बराबर है_________. 

अवकल समीकरण \(y \frac{d x}{d y}=x\left(\log _e x-\log _e y+1\right), x>0, y>0 \) जो बिंदु \((\mathrm{e}, 1))\) से होकर जाता है, उसका हल वक्र ........... है।