બે કાલ્પનિક \(m_1\) અને \(m_2\) દળ ધરાવતા ગ્રહ એક બીજાથી અનંત અંતરે છે.હવે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેમના કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર તે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે.જ્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર \(d\) હોય ત્યારે તેમની ઝડપ કેટલી હશે? (\(m_1\) ની ઝડપ \(v_1\) અને \(m_2\) ની ઝડપ \(v_2\) છે)

So initial energy of the system \(=0\) 

Final energy

\( = \frac{1}{2}{m_1}v_1^2 + \frac{1}{2}{m_2}v_2^2=\frac{{G{m_1}{m_2}}}{d}\)

From conservation of energy, 

\(Initial\, energy=Final\, energy\)

\(\therefore 0 = \frac{1}{2}{m_1}v_1^2 + \frac{1}{2}{m_2}v_2^2 = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{d}\)

\(or\,\frac{1}{2}{m_1}v_1^2 + \frac{1}{2}{m_1}v_2^2 = \frac{{G{m_1}{m_2}}}{d}\,\,...\left( i \right)\)

By conservation of linear momentum 

\({m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} = 0\)

\(or\,\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \Rightarrow {v_2} =  - \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}{v_1}\)

Putting value of \(v_2\) in equation \((1)\), we get

\({m_1}v_1^2 + {m_2}{\left( { - \frac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_2}}}} \right)^2} = \frac{{2G{m_1}{m_2}}}{d}\)

\(\frac{{{m_1}{m_2}v_1^2 + m_1^2v_1^2}}{{{m_2}}} = \frac{{2G{m_1}{m_2}}}{d}\)

\({v_1} = \sqrt {\frac{{2Gm_2^2}}{{d\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}}  = {m_2}\sqrt {\frac{{2G}}{{d\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}} \)

\(Similarly\,{v_2} = {m_1}\sqrt {\frac{{2G}}{{d\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}} \)