રેખાઓ \(\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(a\hat{i} - \hat{j})\), \(a \neq 0\) અને \(\vec{r} = (4\hat{i} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + a\hat{k})\) ના છેદનબિંદુનું ઊગમબિંદુથી અંતરનો વર્ગ છે:

સમીકરણ \( (x-1)^{2}-5|x-1|+6=0 \) ના તમામ બીજનો સરવાળો ........... છે.

જેમના દિક્ર્ કોસાઈન, સમીકરણો \(l+m-n=0\) અને \(l^{2}+m^{2}-n^{2}=0 .\) નું સમાધાન કરતા હોય તેવી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો \(\alpha\) જ હોય, તો \(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha\) નું મૂલ્ય .......... છે.

ત્રણ ધન પુર્ણાકો \(p, q, r \quad x^{p q^2}=y^{q r}=z^{p^2 r}\) અને \(r = pq +1\) એવા છે કે જેથી \(3,3 \log _y x, 3 \log _z y , 7 \log _x z\) સમાંતર શ્રેણીમાં (જ્યાં સામાન્ય તફાવત \(\frac{1}{2}\) છે.) તો \(r-p-q=..........\)

ધારો કે \((\alpha, \beta, \gamma)\) એ બિંદુ \((1,2,3)\) માંથી રેખા \(\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}\) પરનો લંબપાદ છે. તો \(19(\alpha+\beta+\gamma)\) = ...........

\(\int \limits_{\pi / 6}^{\pi / 3} \tan ^{3} x \cdot \sin ^{2} 3 x\left(2 \sec ^{2} x \cdot \sin ^{2} 3 x+3 \tan x \cdot \sin 6 x\right) d x\)  ની કિમત શોધો

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

ઢાળ 2 વાળી રેખા \(L_1\) અને ઢાળ \(\frac{1}{2}\) વાળી રેખા \(L_2\) ઉગમબિંદુ O માં છેદે છે. પ્રથમ ચરણમાં, \(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \ldots . \mathrm{P}_{12}\) એ રેખા \(L_1\) પરના 12 બિંદુઓ છે અને \(Q_1, Q_2, \ldots . . Q_9\) એ રેખા \(L_2\) પરના 9 બિંદુઓ છે. તો, 22 બિંદુઓ \(\mathrm{O}, \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \ldots \mathrm{P}_{12}\), \(\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2, \ldots . \mathrm{Q}_9\) પૈકી કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓને શિરોબિંદુઓ તરીકે લઈને બનતા કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા કેટલી છે?

કોઈ પણ બે છોકરીઓ જોડે જોડે ન બેસે તે રીતે \(5\) છોકરીઓ અને \(7\) છોકરાઓ ને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની રીત ની સંખ્યા \(..........\) છે.

ધારો કે \(f(x)=\int \frac{2 x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)} d x\). જો \(f(3)=\frac{1}{2}\left(\log _e 5-\log _e 6\right)\) હોય,તો \(f(4)=............\)

\(31\) દિવસના એક મહિનામાંથી, યાદૃચ્છિક રીતે \(3\) ભિન્ન તારીખો પસંદ કરવામાં આવે છે. જો આ તારીખો વધતી સમાંતર શ્રેણી (A.P.) માં હોય તેની સંભાવના \(\dfrac{a}{b}\) જેટલી હોય, જ્યાં \(a,b \in \mathbb{N}\) અને \(\gcd(a,b)=1\), તો \(a+b\) બરાબર ______ છે.

ધારોકે બે સમતલો \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})=6\) અને \(\vec{r} \cdot(-6 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k})=7\) ની છેદરેખાને સમાવતું સમતલ \(P: \vec{r} \cdot \vec{a}=d\) છે. જો સમતલ \(P\) એ બિંદું \(\left(2,3, \frac{1}{2}\right)\) માંથી પસાર થાય, તો \(\frac{|13 \vec{a}|^{2}}{d^{2}}\) નું મુલ્ય.........છે

રેખાઓ \(\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2, \ldots, \mathrm{L}_{20}\) ભિન્ન છે. \(\mathrm{n}=1,2,3, \ldots, 10\) માટે તમામ રેખાઓ \(\mathrm{L}_{2 \mathrm{n}-1}\) પરસ્પર સમાંતર છે અને તમામ રેખાઓ \(\mathrm{L}_{2 \mathrm{n}}\) એ આપેલ બિંદુ \(\mathrm{P}\) માંથી પસાર થાય છે. તો સંપૂર્ણ ગણ \(\left\{\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2, \ldots, \mathrm{L}_{20}\right\}\) માંથી રેખાઓની જોડો ના છેદબિંદુુઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.