\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots .\;3n}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \)

શ્રેણિકની સંખ્યા મેળવો કે જેની કક્ષા \(3 \times 3\) છે અને બધાજ ઘટકો  \(0\) અથવા \(1\) હોય અને બધાજ ઘટકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા થાય.

આઠ પ્રશ્નોમાંથી કોઈપણ ને બે કરતાં ઓછાં માર્કસ ન આપવામાં આવે તો \(30\) માર્કસ કેટલી રીતે શકાય?

જો સદીશો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને  \(\vec{c}\) એ એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0} .\) જો \(\lambda=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}},\) તો \((\lambda, {\mathrm{\vec d}})\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

વર્તુળ કે જેનું કેન્દ્ર \(C(2,3)\) છે અને તેના પરના બે બિંદુઓ  \(P\) અને \(Q\) આપેલ છે અને વર્તુળ ઉગમબિંદુ \(O\) માંથી પસાર થાય છે અને જો  \(OC\) એ બંને રેખાખંડ \(C P\) અને \( C Q\) ને લંબ હોય તો ગણ \(\{\mathrm{P}, \mathrm{Q}\}\) એ . .  ...  થાય.

વર્તુળોના વ્યાસનો સરવાળો મેળવો કે જે સ્પર્શે છે. . .  \((i)\) પરવલય \(75 x^{2}=64(5 y-3)\) ને બિંદુ \(\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)\) આગળ અને \((ii)\) \(y\)-અક્ષ

જો \(Q\) એ ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ \(4x - 3y+ z+ 13 = 0\) પર દોરવામાં આવેલ લંબપાદ હોય અને \(R\) એ \((- 1 ,1, -6)\) એ સમતલ પર આવેલ છે તો \(QR\) ની લંબાઈ મેળવો.

જો \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^x=\alpha\) હોય, તો \(\frac{\log _{\mathrm{e}} \alpha}{1+\log _{\mathrm{e}} \alpha}\) = __________

ધારોકે એક વિધેય \(f:(0, \pi) \rightarrow {R}\) એ \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(\frac{8}{7}\right)^{\frac{\tan 8 x}{\tan 7 x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ a-8, & x=\frac{\pi}{2} \\ (1+\mid \cot x)^{\frac{b}{a}|\tan x|}, & \frac{\pi}{2} < x < \pi\end{array}\right.\) જ્યાં \(a, b \in Z\) મુજબ આપેલ છે. જો \(x=\frac{\pi}{2}\) પર \(f\) સતત હોય, તો \(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2=\) ..........

આપેલ વિધાન જુઓ: \((S1):\) \(2023^{2022}-1999^{2022}\) એ \(8\) વડે વિભાજ્ય છે. \((S2)\) : \(13(13)^{ n }-11 n -13\) એ \(144\) વડે અનંત  \(n \in N\) માટે વિભાજ્ય છે..

ધારોકે બિંદુઓ \(A (1,2,0), B (1,4,1)\) અને \(C (0,5,1)\) માંથી પસાર થતા સમતલ પર બિંદુ \(P (1,2,6)\) નું પ્રતિબિંબ \(Q (\alpha, \beta, \gamma)\) છે. તો \(\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)=........\)

ધારો કે \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) એ બે એવા સદિશો છે કે જેથી \(|\vec{b}|=1\) અને \(|\vec{b} \times \vec{a}|=2\). તો \(|(\vec{b} \times \vec{a})-\vec{b}|^2 =\) ...........

જો \(1+\left(2+{ }^{49} C _{1}+{ }^{49} C _{2}+\ldots .+{ }^{49} C _{49}\right)\left({ }^{50} C _{2}+{ }^{50} C _{4}+\right.\) \(\ldots . .+{ }^{50} C _{ so }\) ) ની કિમંત  \(2^{ n } . m\) હોય તો \(n+m\) ની કિમંત મેળવો. કે જ્યાં  \(m\) એ અયુગ્મ છે.