જો ઉંગમબિંદુ કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયની પ્રધાનઅક્ષ અને ગૌણઅક્ષની લંબાઈનો તફાવત \(10\) અને એક નાભી \((0, 5\sqrt 3 )\) હોય તો નાભીલંબની લંબાઈ .......... થાય 

રેખાઓ \(x \cos \theta+y \sin \theta=7, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) ના યામાક્ષો વચ્યેની રેખાખંડોના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા આલેખાયેલ વક્ર પર બિંદુ \(\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)\) આવેલ હોય, તો \(\alpha=.........\)

ધારો કે \(\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \mathrm{x}_3, \mathrm{x}_4\) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. જો \(x_1, x_2, x_3, x_4\) માંથી અનુક્રમે \(2,7,9,5\) બાદ કરવામાં આવે, તો પરિણામી સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. તો \(\frac{1}{24}\left(x_1 x_2 x_3 x_4\right)\) = __________

એવા ત્રણ અંકોની સંખ્યા કેટલી મળે કે જેથી તે બધા અંકોનો સરવાળો હંમેશા દસ થાય.

જો \(\alpha  \in (0, \pi /2)\) માં અચળ છે  અને \(\int {\frac{{\tan \,x + \tan \,\alpha }}{{\tan \,x - \tan \,\alpha }}dx = A\left( x \right)\,\cos \,2\alpha  + B\left( x \right)\,\sin \,2\alpha  + C} \) તો વિધેય \(A(x)\) અને \(B(x)\) અનુક્રમે  . . ..  થાય . (કે જ્યાં  \(C\) સંકલનનો અચળાંક  છે)

ગણ \(\{-2,-1,0,1,2\}\) પર સંબંધ R નો વિચાર કરો કે જે \((a, b) \in R\) જો અને ફક્ત જો \(1+ab > 0\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો, નીચેના વિધાનો પૈકી:
I. R માં ઘટકોની સંખ્યા 17 છે
II. R એક સામ્ય સંબંધ છે

ધારો કે \(\mathrm{a} \in \mathbf{R}\) અને A એ \(3 \times 3\) કક્ષાનો શ્રેણિક છે કે જેથી \(\operatorname{det}(A)=-4\) અને \(A+I=\left[\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2\end{array}\right]\), જ્યાં \(I\) એ \(3 \times 3\) કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
જો \(\operatorname{det}((a+1) \operatorname{adj}((a-1) A))\) એ \(2^m 3^n, m, n \in\) \(\{0,1,2, \ldots .20\}\) હોય, તો \(\mathrm{m}+\mathrm{n}\) = ___

\(\lim _{h \rightarrow 0} 2\left\{\frac{\sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}+h\right)-\cos \left(\frac{\pi}{6}+h\right)}{\sqrt{3} h(\sqrt{3} \cosh -\sinh )}\right\}\) નું મૂલ્ય ......... છે.

ત્રિકોણમિતીય પ્રતિ વિધેયોની ફક્ત મુખ્ય કિંમતો ગણતરીમાં લેતાં, \(\tan ^{-1}(x)+\tan ^{-1}(2 x)=\frac{\pi}{4}\) નું સમાધાન કરતી \(x\) ની ધન વાસ્તવિક કિંમતો સંખ્યા ........... છે.

ધારો કે \(\vec{a}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\). જો \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) એવો સદિશ છે કે જેથી \(\vec{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\), \(|\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \vec{a}|^2=8\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) તથા \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\frac{\pi}{4}\) છે, તો \(|10-3 \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}|+|\overrightarrow{\mathrm{d}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}|^2\) = ___

જો \((\sqrt{3}+\mathrm{i})^{100}=2^{99}(\mathrm{p}+\mathrm{i} \mathrm{q})\) હોય તો \(\mathrm{p}\) અને  \(\mathrm{q}\) એ . . .   સમીકરણના બીજ છે.

ધારોકે \(S=\{\theta \in[0,2 \pi): \tan (\pi \cos \theta)+\tan (\pi \sin \theta)=0\} .\) તો \(\sum_{\theta \in s} \sin ^2\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=...........\).

ધારોકે \(\sum_{k=1}^n a_k=\alpha n^2+\beta n\). જો \(a_{10}=59\) અને \(a_6=7 a_1\) હોય, તો \(\alpha+\beta=\) ___ .