જો સંકર સંખ્યા \((1-\cos \theta+2 i \sin \theta)^{-1}\) નો \(\theta \in(0, \pi)\) માટે વાસ્તવિક ભાગ  \(\frac{1}{5}\) હોય તો \(\int_{0}^{\theta} \sin x \,d x\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.

\(\lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin \left(\cos ^{-1} x\right)-x}{1-\tan \left(\cos ^{-1} x\right)}=\dots\dots\dots\dots\) 

\(f(n)+\frac{1}{n} f( n +1)=1 \forall n \in\{1,2,3\}\) નું સમાધાન કરતા વિધેયો \(f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{ a \in Z |a| \leq 8\}\) ની સંખ્યા \(..........\) છે.

બિંદુ \((2,3,1)\) નું રેખા \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1}\) ની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબમાંથી પસાર થતાં અને રેખા \(\frac{x-2}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+1}{1}\) માંથી પસાર થતું સમતલ \(\alpha x+\beta y+\gamma z=24\) હોય તો \(\alpha+\beta+\gamma\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે  \(A\) અને \(B\) બે \(3 \times 3\) કક્ષાના વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેથી \(\left(A^{2}-B^{2}\right)\) એ વ્યસ્ત સ્પન્ન શ્રેણિક છે. જો \(A^{5}=B^{5}\) અને \(A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}\),તો શ્રેણિક \(A^{3}+B^{3}\) ની કિમંત મેળવો.

જે લંબવૃતિય શંકુની ત્રિયક ઊંચાઈ \(3\, m\) હોય તેનું મહતમ ઘનફળ (\(cu.m\) માં)  મેળવો.

જો ધન \(x-\)અક્ષ તથા વર્તુળ \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25\) ના \((5, 7)\) બિંદુએ અભિલંબ અને સ્પર્શકથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ \(A\) હોય, તો \(24A =........ .\)

અહી \(\mathrm{n}\) એ સમીકરણ \(z^{2}+3 \bar{z}=0\) ના ઉકેલની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેમાં  \(\mathrm{z}\) એ સંકર સંખ્યા છે તો \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}\) ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ \(4 \sin ^2 x-4 \cos ^3 x+9-4 \cos x=0 ; x \in[-2 \pi, 2 \pi]\) નાં ઉકેલોની સંખ્યા ........... છે.

જો ગણ \(X\) માં ઘટકોની સંખ્યા \(10\) છે અને \(P(X)\) એ તેનો ઘાતગણ છે . અને જો  \(A\) અને  \(B\) ને યાર્દચ્છિક રીતે \(P(X)\) માંથી પુર્નરાવર્તન વગર પસંદ કરવામાં આવે છે તો \(A\) અને \(B\) ને સમાન ઘટકોની સંખ્યા હોય તેની સંભાવના મેળવો.

વક્ર \(y = x^2 - 4\) નું ઉગમબિંદુથી ટૂંકામાં ટૂંકુ અંતર મેળવો.

ધારો કે \(\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k\) અને \(\vec b = \hat i + \hat j\) . ધારો કે \(\vec c\) એવો સદિશ છે કે જેથી \(\left| {\vec c - \vec a} \right| = 3,\;\left| {\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \vec c} \right| = 3\) તથા \(\vec c\) અને \(\vec a \times \vec b\) વચ્ચેનો ખૂણો \(30^\circ \) થાય ,તો \(\vec a \cdot \vec c\) ની કિંમત મેળવો.