જો અતિવલય એ બિંદુ \(\mathrm{P}(10,16)\) માંથી પસાર થાય છે અને તેનું શિરોબિંદુ \((\pm 6,0)\) હોય તો બિંદુ \(P\) આગળના અભિલંભનું સમીકરણ મેળવો.

ધારો કે ઉગમબિંદુ \(\mathrm{O}\) માંથી દોરેલ બે સુરેખાઓ રેખા \(3 x+4 y=12\) ને બિંદુઓ \(\mathrm{P}\) અને \(\mathrm{Q}\) પર એ રીતે છેદે છે કે જેથી \(\triangle \mathrm{OPQ}\) એ સમદ્રીબાજુ ત્રિકોણ છે તથા \(\angle \mathrm{POQ}=90^{\circ}\). જો \(l=\mathrm{OP}^2+\mathrm{PQ}^2+\mathrm{QO}^2\), તો \(l\) થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક ........... છે.

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

જો વક્ર \(y = f(x)\) બિંદુ \((1, e)\) માંથી પસાર થાય અને વિકલ સમીકરણ \(dy = y(2 + \log_e x)\,dx\) નું સમાધાન કરતું હોય, \(x > 0\), તો \(f(e)\) બરાબર છે :

ધારો કે, એક વિકલનીય વિધેય f સમીકરણ \( \int_{0}^{36}f(\frac{tx}{36})dt=4\alpha f(x) \) ને સંતોષે છે. જો \( y=f(x) \) એ એક પ્રમાણભૂત પરવલય હોય જે બિંદુઓ (2, 1) અને \( (-4,\beta) \) માંથી પસાર થાય છે, તો \( \beta^{\alpha} \) = ___ છે.

\(\left(2^{\frac{1}{5}}+5^{\frac{1}{3}}\right)^{15}\) ના વિસ્તરણમાં તમામ સંમેય પદોનો સરવાળો ........... છે.

ધારો કે \(P\) એ. સમતલો. \(2 x+3 y-z=2\) અને \(x+2 y+3 z=6\) ના છેદ માંથી પસાર થતું તથા સમતલ \(2 x+y-z+1=0\) ને લંબ હોય તેવું સમતલ છે.જો \(P\)નું બિંદુ \((-7,1,1)\) થી અંતર \(d\) હોય, તો \(d ^2=.........\)

જો \(z\) અને \(w\) એ બે સંકર સંખ્યા છે કે જેથી \(w=z \bar{z}-2 z+2,\left|\frac{z+i}{z-3 i}\right|=1\) અને \(\operatorname{Re}(w)\) ની કિમંત ન્યૂનતમ થાય છે . તો \(n \in N\) ની ન્યૂનતમ કિમંત મેળવો કે જેથી \(w ^{ n }\) એ વાસ્તવિક સંખ્યા થાય .

વક્ર \(y=\frac{1}{2} x^{4}-5 x^{3}+18 x^{2}-19 x\) ને ............  બિંદુએ મહત્તમ ઢાળ મળે છે.

ધારો કે બિંદુ \((4,1,0)\) માંથી પસાર થતી એક રેખા રેખા \(L_1 ; \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\) ને બિંદુ \(\mathrm{A} \quad(\alpha, \beta, \gamma)\) માં અને રેખા \(L_2: x-6=y=-z+4\) ને બિંદુ \(B(a, b, c)\) માં છેદે છે. તો \(\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c}\end{array}\right|\) = ___

જો સમીકરણો  \(2x + 3y - z = 0\), \(x + ky - 2z = 0\) અને  \(2x - y + z = 0\) ને શૂન્યતર ઉકેલ \((x, y, z)\) હોય તો  \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k\) મેળવો.

પરવલય \(x^2 = 8y\) અને ઉપવલય \(\frac{{{x^2}}}{3} + {y^2} = 1\) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ ......................................... થાય 

સમીકરણ \(\mathrm{e}^{4 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}-4 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1=0\) ના વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા મેળવો.