સમીકરણ \(\mathrm{e}^{4 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}-4 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1=0\) ના વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા મેળવો.

એક ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}\) ના બે શિરોબિંદુઓ. \(\mathrm{A}(3,-1)\) અને \(\mathrm{B}(-2,3)\) છે, અને તેનુ લંબકેન્દ્ર \(P(1,1)\) છે. જો બિંદુ \(C\) ના યામ \((\alpha, \beta)\) હોય અને ત્રિકોણ \(P A B\) ને પરિગત કરતા (circumscribing) વર્તુળનું કેન્દ્ર (\(h,k\)) હોય, તો \((\alpha+\beta)+2(h+k)\) = .......... થાય.

દરેક વ્યક્તિ \(\mathrm{A}\) અને \(\mathrm{B}\) સ્વતંત્ર રીતે ત્રણ સમતોલ સિક્કાને ઉછાળે છે તો બંને ને સમાન સંખ્યામાં છાપ આવે તેની સંભાવના મેળવો.

જો સુરેખ સમીકરણ સંહતી \(2 x+3 y-z=-2\)  ; \(x+y+z=4\)  ; \(x-y+|\lambda| z=4 \lambda-4\) (જ્યાં \(\lambda \in R\) ) ને ઉંકેલ ન હોય, તો..........

\(\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}\) અને \(\frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}\) વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર \(\dots\dots\dots\)છે.

સુરેખ સમીકરણ સંહતિ \(2 x+4 y+2 a z=b\) \(x+2 y+3 z=4\) \(2 x-5 y+2 z=8\) માટે નીચેનામાથી ક્યું સાચું નથી?

જો \(0 < x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6\) હોય તેવી તમામ છ અંક વાળી સંખ્યાઆ \(x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6\) ને વધતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે, તો \(72\) મી સંખ્યાનાં અંકોનો સરવાળો \(=........\) છે.

જો \(A\) એ \(3\times3\) શ્રેણિક છે કે જેથી \(A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&2&3 \\ 
  0&2&3 \\ 
  0&1&1 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0&0&1 \\ 
  1&0&0 \\ 
  0&1&0 
\end{array}} \right]\)  તો \(A^{-1}\) મેળવો.

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

વક્ર \(x^2 = 4y\) અને રેખા \(x = 4y - 2\) દ્વારા  આવૃત પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો .

ધારો કે \(p = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } {\left( {1 + {{\tan }^2}\sqrt x } \right)^{\frac{1}{{2x}}}},\) તો \(\log p = \) . . . . . થાય. . .

 સંભાવના વિતરણ \(P(X= 0)=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{j})=\frac{1}{3^{j}}(\mathrm{j}=1,2,3, \ldots, \infty)\) માટે યાર્દચ્છિક ચલ \(X\) આપવામાં આવ્યું છે તો વિતરણનો મધ્યક અને સંભાવના \(\mathrm{P}(\mathrm{X}\) એ ધન અને યુગ્મ હોય ) અનુક્રમે  . .  . અને  . . .  થાય.

ધારો કે \(A\) એ એક \(3 \times 3\) શ્રેણિક છે કે જેથી
\(\begin{aligned}
& |\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} \mathrm{A}))|=81 . \text { જો } \\
& \mathrm{S}=\left\{\mathrm{n} \in \mathbb{Z}:(|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|)^{\frac{(n-1)^2}{2}}=|A|^{\left(3 n^2-5 n-4\right)}\right\}
\end{aligned}\)
, તો \(\sum_{n \in S}\left|A^{\left(n^2+n\right)}\right|\) = ___