જો \((1+x)^{\mathrm{p}}(1-x)^{\mathrm{q}}\) ના વિસ્તરણમાં, \(x\) અને \(x^2\) ના સહગુણકો અનુક્રમે 1 અને -2 હોય, તો \(\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2\) = __________

જેના શિરોબિંદુઓ નિયમિત અષ્ટકોણના શિરોબિંદુઓ પર હોય પરંતુ જેની એક પણ બાજુ એ અષ્ટકોણની બાજુ ન હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા ........... છે.

એક બિંદુ \(P\) પરવલય \(y^{2}=12 x\) પરનું હોય અને બિંદુ \(N\) એ બિંદુ \(P\) માંથી પરવલયની અક્ષ પરનો લંબ છે તથા એક રેખા \(PN\) ના મધ્યબિંદુ \(N\) માંથી એક રેખા તેની અક્ષને સમાંતર દોરવામાં આવે તે પરવલયને બિંદુ \(Q\) માં છેદે છે જો રેખા \(NQ\) નો \(y\)- અંત:ખંડ \(\frac{4}{3},\) હોય તો 

જો વક્ર \(y = x^3 + ax -b\) ના બિંદુ \((1, -5)\) આગળનો સ્પર્શકએ રેખા \(-\,x + y + 4 = 0\) ને લંબ હોય તો આપેલ પૈકી વક્ર પરનું બિંદુ મેળવો.

રેખાઓ \(\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2, \ldots, \mathrm{L}_{20}\) ભિન્ન છે. \(\mathrm{n}=1,2,3, \ldots, 10\) માટે તમામ રેખાઓ \(\mathrm{L}_{2 \mathrm{n}-1}\) પરસ્પર સમાંતર છે અને તમામ રેખાઓ \(\mathrm{L}_{2 \mathrm{n}}\) એ આપેલ બિંદુ \(\mathrm{P}\) માંથી પસાર થાય છે. તો સંપૂર્ણ ગણ \(\left\{\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2, \ldots, \mathrm{L}_{20}\right\}\) માંથી રેખાઓની જોડો ના છેદબિંદુુઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

જેના માટે \(x^4-a x^2+9=0\) નાં તમામ બીજ વાસ્તવિક અને ભિશ્ન હોય, તેવી \(a\) ની નાનામાં નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત ___ છે.

જો \( \int \operatorname{cosec}^5 x d x=\alpha \cot x \operatorname{cosec} x\left(\operatorname{cossc}^2 x+\frac{3}{2}\right)+\beta \log _e\left|\tan \frac{x}{2}\right|+c\) જ્યાં \( \alpha, \beta \in \mathbb{R}\) અને \(\mathrm{C}\) એ સંકલન નો અચળાંક છે, તો \(8(\alpha+\beta)\) નું મૂલ્ય .......... છે.

અહી \(S_{1}\) એ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ \(2 n\) નો સરવાળો દર્શાવે છે અને \(S_{2}\) તે જ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ \(4n\) નો સરવાળો દર્શાવે છે. જો \(\left( S _{2}- S _{1}\right) =1000\) હોયતો પ્રથમ \(6 n\) પદોનો સરવાળો મેળવો.

ધારોકે \(k\) અને \(m\) એવી ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી વિધેય \(\quad f ( x )=\left\{\begin{array}{cc}3 x ^2+ k \sqrt{ x +1}, & 0< x <1 \\ mx ^2+ k ^2, & x \geq 1\end{array}\right.\) એ પ્રત્યેક \(x > 0\) માટે વિકલનીય છે, તો \(\frac{8 f^{\prime}(8)}{f^{\prime}\left(\frac{1}{8}\right)}=........\)

ધારો કે એક વર્તુળ \(C\) નું કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોય, તે યામ-અક્ષોને ફક્ત ત્રણ બિંદુઓમાં છેદે અને યામ-અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે. જો રેખા \(x + y = 1\) પરના \(C\) ના જીવાની લંબાઈ \(\sqrt{14}\) હોય, તો \(C\) ની ત્રિજ્યાનો વર્ગ _______ છે.

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

\(428^{2024}\) ને \(21\) વડે ભાગતાં મળતી શેષ .......... છે.

જો \( (\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0}^{14}C_{1}...^{14}C_{12}} \) હોય, તો 30a = ........... છે.