ધારોકે \(\lambda \in R\) અને ધારોકે સમીકરણ \(E\) એ \(|x|^2-2|x|+|\lambda-3|=0\) છે. તો ગણ \(S =\{x+\lambda: x\) એ \(E\) નો પૂર્ણાંક ઉકેલ છે; નો મહતમ ધટક \(.............\) છે.

એક રેખા \(2 x-y=0\) ને સમાંતર રેખા અને અતિવલય \(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1\) ને બિંદુ \(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) આગળ સ્પર્શક હોય તો \(x_{1}^{2}+5 y_{1}^{2}\) ની કિમત મેળવો 

ધારો કે \(X=\mathbf{R} \times \mathbf{R}\) છે. \(X\) પર એક સંબંધ \(R\) ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો:
\(\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right) \Leftrightarrow b_1=b_2\)

વિધાન I : \(\quad \mathrm{R}\) એ સામ્ય સંબંધ છે.
વિધાન II : \(X\) માંના કોઈ \((a, b)\) માટે, ગણ \(S=\{(x, y) \in X:(x, y) R(a, b)\}\) એ \(y=x\) ને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના આધારે, નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

જો \(^{20}{C_1} + \left( {{2^2}} \right){\,^{20}}{C_3} + \left( {{3^2}} \right){\,^{20}}{C_3} + \left( {{2^2}} \right) + ..... + \left( {{{20}^2}} \right){\,^{20}}{C_{20}} = A\left( {{2^\beta }} \right)\) થાય તો \((A, \beta )\) ની કિમત મેળવો. 

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

ધારો કે રેખા \(L_1 : x + 3 = 0\) એ રેખાઓ \(L_2 : x - y = 0\) અને \(L_3 : 3x + y = 0\) ને અનુક્રમે બિંદુઓ \(A\) અને \(B\) માં છેદે છે. ધારો કે રેખાઓ \(L_2\) અને \(L_3\) વચ્ચેના ગુરુકોણનો દ્વિભાજક, રેખા \(L_1\) ને બિંદુ \(C\) માં છેદે છે. તો \(BC^2 : AC^2\) બરાબર છે:

જો \(y = {e^{nx}}\), તો \(\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)\left( {\frac{{{d^2}x}}{{d{y^2}}}} \right)\) મેળવો.

ધારો કે પરવલય \(P: y^2 = 8x\) ની નિયતા \(x\)-અક્ષને બિંદુ \(A\) માં છેદે છે. ધારો કે \(B(\alpha, \beta)\), જ્યાં \(\alpha > 1\), એ \(P\) પરનું એક બિંદુ છે જેથી \(AB\) નો ઢાળ \(3/5\) છે. જો \(BC\) એ \(P\) ની નાભીય જીવા હોય, તો \(\triangle ABC\) ના ક્ષેત્રફળના છ ગણાંનું મૂલ્ય શું થશે :

એક વર્તુળ \(C\) જેની ત્રિજ્યા 2 છે, તે બીજા ચતુર્થાંશમાં આવેલું છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે. ધારો કે \(r\) એ એક વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જેનું કેન્દ્ર બિંદુ \((2,5)\) પર છે અને તે વર્તુળ \(C\) ને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે. જો \(r\) ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ અંતરાલ \((\alpha, \beta)\) હોય, તો \(3 \beta-2 \alpha\) = __________

જો \(\frac{{dy}}{{dx}} + y\tan x = \sin 2x\) અને \(y(0)\,=1\) તો  \(y(\pi)\) મેળવો.

ધારો કે \(f: \mathbf{R}-\{0\} \rightarrow(-\infty, 1)\) એ 2 ઘાતવાળી બહુપદી છે, જે \(f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\) ને સંતોષે છે. જો \(f(K)=-2 K\) હોય, તો \(K\) ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો છે :

જો \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
0&1
\end{array}} \right]\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
0&1
\end{array}} \right]\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3\\
0&1
\end{array}} \right]\,........\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{n - 1}\\
0&1
\end{array}} \right]\, = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{78}\\
0&1
\end{array}} \right]\) તો  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&n\\
0&1
\end{array}} \right]\) નો વ્યસ્ત શ્રેણિક મેળવો.

જો \(\mathrm{S}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C}: \frac{\mathrm{z}-i}{\mathrm{z}+2 i} \in \mathbb{R}\right\}\) હોય તો .. . . ..