ધારો કે રેખા \(L_1 : x + 3 = 0\) એ રેખાઓ \(L_2 : x - y = 0\) અને \(L_3 : 3x + y = 0\) ને અનુક્રમે બિંદુઓ \(A\) અને \(B\) માં છેદે છે. ધારો કે રેખાઓ \(L_2\) અને \(L_3\) વચ્ચેના ગુરુકોણનો દ્વિભાજક, રેખા \(L_1\) ને બિંદુ \(C\) માં છેદે છે. તો \(BC^2 : AC^2\) બરાબર છે:

ધારોકે \(f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)\) અને \(S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}\) છે. જો \(4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta,\) હોય, તો \(f(\beta)=........\)

ધારો કે \(\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}\) એ નીચે આપેલ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે. \(f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 \) તો  \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\sin (\mathrm{k}) \sin (\mathrm{k}+\mathrm{f}(\mathrm{k}))}\) ની કિમંત મેળવો.

આપેલ શ્રેણીનો સરવાળો \((2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + ...\) \(10\) પદ સુધી ...... થાય 

જો \(\mathrm{A}(1,-1,2), \mathrm{B}(5,7,-6), \mathrm{C}(3,4,-10)\) અને \(\mathrm{D}(-1,-4,-2)\) એ ચતુષ્કોણ \(\mathrm{ABCD}\) ના શિરોબિંદૂઓ હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ .......... છે.

ધારોકે \(f: R \rightarrow R\) એ \(f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x), \forall x, y \in R\). નું સમાધાન કરે છે. \(f(2)=3\), હોય., તો \(14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)}=\dots\dots\)

ધારો કે \(f(x)=\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\tan \left(x / 2^{r+1}\right)+\tan ^3\left(x / 2^{r+1}\right)}{1-\tan ^2\left(x / 2^{r+1}\right)}\right)\). તો \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{f(x)}}{(x-f(x))}\) = __________

આઠ પ્રશ્નોમાંથી કોઈપણ ને બે કરતાં ઓછાં માર્કસ ન આપવામાં આવે તો \(30\) માર્કસ કેટલી રીતે શકાય?

ધારો કે  \(k\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે  અને વિધેય  \(f(x) = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)^2}}{{\sin {\mkern 1mu} \left( {\frac{x}{k}} \right){\mkern 1mu} \log {\mkern 1mu} \left( {1 + \frac{x}{4}} \right)}}{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} x \ne 0}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }
\end{array}} \right.\)   એ સતત વિધેય હોય તો \(k\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(\alpha\) એ સમીકરણ \(p(x)=x^{2}-x-2=0\) નું ધન બીજ હોય તો \(\lim \limits_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{\sqrt{1-\cos (p(x))}}{x+\alpha-4}\) ની કિમત શોધો 

\(a\) અને \(b\) ની કઈ કિમંતો માટે આપેલ  સમીકરણ સંહતીઓ \(2 x+3 y+6 z=8\)  ;   \(x+2 y+a z=5\)  ;  \(3 x+5 y+9 z=b\) નો બીજગણ ખાલી ગણ થાય.

જો રેખા \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + \lambda }}{{ - 2}}\) એ સમતલ \(2x- 4y + 3z\, = 2\) માં આવેલ હોય તો આ  રેખા અને રેખા \(\frac{{x - 1}}{{12}} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}\) વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટુકું અંતર મેળવો.

ધારોકે \(R\) એ પરવલય \(y^2=20 x\) ની નાભિ છે અને રેખા \(y=m x+c\) પરવલય ને બે બિંદુઆ \(P\) અને \(Q\) માં છેદે છે. ધારોકે બિંદુ \(G(10,10)\) એ ત્રિકોણ \(PQR\) નું મધ્ય કેન્દ્ર છે. જો \(c-m=6\) હોય, તો \(( PQ )^2=.........\).