ધારોકે પરવલય \(y^2=4 x\) ના ઉગમબિંદુ O માંથી પસાર થતી જીવાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એ વક્ર S છે. ધારોકે P એ S પરનું કોઈ બિંદુ છે. તો OP ને ગુણોત્તર 3:1 માં જે અંતઃવિભાજન કરે તે બિંદુનો બિંદુપથ ___ છે.

પ્રદેશ \(R =\left\{( x , y ): 5 x ^{2} \leq y \leq 2 x ^{2}+9\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ .....ચો. એકમ છે.

જો વિધેય \(f(x)=\sec ^{-1}\left(\frac{2 x}{5 x+3}\right)\) નો પ્રદેશ \([\alpha, \beta) U (\gamma, \delta]\) હોય, તો \(|3 \alpha+10(\beta+\gamma)+21 \delta|=..........\)

ધારો કે \(A = \begin{bmatrix} \alpha & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \end{bmatrix}\) અને \(B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 4\alpha & -2\alpha \end{bmatrix} + \text{adj}(A)\). જો \(\det(B)=66\) હોય, તો \(\det(\text{adj}(A))\) બરાબર શું?

ધારો કે રેખા L એ \((1,1,1)\) માંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}\) અને \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1}\) ને છેદે છે. તો, નીચેનામાંથી કયું બિંદુ રેખા L પર આવેલું છે?

જો વર્તુળ \(4 x^{2}+4 y^{2}+120 x+675=0\) ની જીવાને સંગત રેખા એ બિંદુ \((-30,0)\) માંથી પસાર થાય છે અને પરવલય \(\mathrm{y}^{2}=30 \mathrm{x}\) નો સ્પર્શક બને છે તો જીવાની લંબાઈ મેળવો.

ધારો કે \(b _{1} b _{2} b _{3} b _{4}\) એ. \(1 \leq i \leq 4\) માટે \(b _{i} \in\{1,2,3, \ldots \ldots, 100\}\) અને \(i \neq j\) માટે \(b _{i} \neq b _{j}\) હોય,તેવું \(4\) ઘટકો વાળું એક એવું ક્રમસય છે કે જેથી \(b _{1}, b _{2^{\prime}} b _{3}\) ક્રમિક પૂણાંકો હોય અથવા તો \(b _{2}, b _{3}, b _{4}\) ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોય.તો આવાં ક્રમમયો \(b _{1} b _{2} b _{3} b _{4}\)ની સંખ્યા \(\dots\dots\dots\)છે.

જો \(w\) \((Im\, w \neq 0)\) એ સંકર સંખ્યા હોય તો કોઈક વાસ્તવિક સંખ્યા \(k\) માટે સંકર સંખ્યા \(z\) નો ઉકેલગણ મેળવો કે જેથી \(w - \overline {w}z  = k\left( {1 - z} \right)\) થાય. 

\(1\, + \,\frac{{{1^3}\, + \,{2^3}}}{{1 + 2}} + \frac{{{1^3}\, + \,{2^3} + {3^3}}}{{1 + 2 + 3}} + ...... + \frac{{{1^3}\, + \,{2^3} + {3^3} + ..... + {{15}^3}}}{{1 + 2 + 3 + ..... + 15}} - \frac{1}{2}\left( {1 + 2 + 3 + ....+15} \right)\) = ........ 

જો \(\mathrm{p}(\mathrm{x})\) એ ત્રિઘાતાકીય બહુપદી છે કે જેનું \(x=1\) આગળ સ્થાનીય મહતમ કિમત \(8\) અને \(x=2\) આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિમત \(4\) હોય તો \(p(0)\) ની કિમત મેળવો 

અહી  \(A=\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\ \alpha & \beta\end{array}\right)\) છે. જો \(A ^{2}+\gamma A +18 I = O\) હોય તો \(\operatorname{det}( A )\) ની કિમંત મેળવો.

જેનું શિરોબિંદુ \((5,4)\) આગળ અને નિયામિકા \(3 x+y-29=0\) હોય તેવા પરવલયનું સમીકરણ જો \(x^{2}+a y^{2}+b x y+c x+d y+k=0\) હીય. તો \(a+b+c+d+k=\)

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .