ધારો કે \(f(x)=\int x^3 \sqrt{3-x^2} d x\). જો \(5 f(\sqrt{2})=-4\), તો \(f(1)\) = ___

દરેક  \(x > 1\) માટે જો  \({\left( {2x} \right)^{2y}} = 4{e^{2x - 2y}}\), તો  \({\left( {1 + {{\log }_e}\,2x} \right)^2}\frac{{dy}}{{dx}}\) મેળવો.

ધારોકે \((1+2 x)^n\) ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક પદોનાં સહગુણકો \(2:5:8\) ના ગુણોત્તર માં છે. તો આ ત્રણ પદોની મધ્યમાં આવેલ પદનો સહગુણક \(.........\) છે.

ધારો કે \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x,(x > 1)\) નો ઉકેલ છે.જો \(y(2)=2\) હોય, તો \(y(e)=...............\)

સુરેખ સમીકરણ સંહતિ  \(a x+y+z=1\), \(x+a y+z=1, x+y+a z=\beta\) માટે,નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું નથી?

ધારોકે અંકો \(a,b,c\) સમાંતર શ્રેણીમાં છે.આ ત્રણેય અંકોનો ત્રણ વાર ઉપયોગ કરીને \(9-\)અંકો વાળી એવી સંખ્યા બનાવવામાં આવે છે કે જેથી ત્રણ ક્રમિક અંકો ઓછામાં ઓછા એક વાર સમાંતર શ્રેણીમાં હોય.આ પ્રકારની કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે?

જો \(S\) એ \(\lambda \in \mathrm{R}\) ની બધી કિમતોનો ગણ છે કે જ્યાં સુરેખ સંહિતા  \(2 x-y+2 z=2\) \(x-2 y+\lambda z=-4\) \(x+\lambda y+z=4\) ને એક પણ ઉકેલ ના હોય તો ગણ \(S\) માં 

જો બિંદુુઓ \((5,2)\) અને \((2, a)\) ને જોડતી રેખા ખંડ ઊગમબિંદુ આગળ \(\frac{\pi}{4}\) ખૂણો આંતરે, તો \(a\) ની તમામ શક્ય કિંમતોના ગુણાકારનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ............ છે.

જો \(y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \((x + 2)\frac{{dy}}{{dx}} = {x^2} + 4x - 9,\,x \ne  - 2\) નો ઉકેલ છે અને \(y(0) = 0\) તો \(y(-4)\) મેળવો.

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

રેખાઓ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}\) અને \(\frac{x-6}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+8}{0}\) વચ્ચેનું ન્યુનતમ અંતર \(............\) છે.

રેખાઓ \(\frac{x-5}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{-3}\) અને \(\frac{x+3}{1}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-1}{-5}\) વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર મેળવો.

ધારોકે ઉગમબિંદુ છે તથા \(OP\) અને \(OQ\) એ વર્તુળ \(x^2+y^2-6 x+4 y+8=0\) પરના બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) પરના વર્તુળના સ્પર્શકો છે.જો ત્રિકોણ \(OPQ\) નું પરિવૃત્તએ બિંદુ \(\left(\alpha, \frac{1}{2}\right)\) માંથી પસાર થાય, તો \(\alpha\) નું મૂલ્ય \(.........\) છે.