ધારો કે \(3,7,11,15, \ldots, 403\) અને \(2, 5, 8, 11, \ldots, 404\) એ બે સમાંતર શ્રેણીઓ છે. તો તેમાંના સામાન્ય પદોનો સરવાળો ........... છે.

\(\left\{ {x \in R:x \ge } \right.0,\,y \ge 0,\,y \ge x - 2\,and\,y \le \sqrt x \} \,\,\) ના આવૃત પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો .

\(\int \frac{\sin \theta \cdot \sin 2 \theta\left(\sin ^{6} \theta+\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta+3 \sin ^{2} \theta+6}}{1-\cos 2 \theta} d \theta\) નું મૂલ્ય ........... છે.    (જ્યાં \(c\) એ સંકલનનો અચળાંક છે) 

ધારોકે બિંદુ \(P (1,2,3)\) નું સમતલ \(2 x-y+z=9\) પર નું પ્રતિબિંબ \(Q\) છે.જો બિંદુ \(R\)નાં યામ \((6,10,7)\) હોય, તો ત્રિકોણ \(PQR\) ના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ \(........\) છે.

જો સદીશો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને  \(\vec{c}\) એ એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0} .\) જો \(\lambda=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}},\) તો \((\lambda, {\mathrm{\vec d}})\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

સમીકરણ \(32^{\tan ^{2} x}+32^{\sec ^{2} x}=81,0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\) ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

ધારોકે R એ ગણ {1, 2, 3, 4} x {1, 2, 3, 4} પર \(R =\{((a, b),(c, d)): 2 a+3 b=3 c+4 d\}\) પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત એક સબંધ છે. તો R નાં ઘટકોની સંખ્યા ___ છે.

\(\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5\) ના વિસ્તરણમાં \(x^5\) નો સહગુણક \(........\) હશે.

વર્તૂળો \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\) અને\({x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0\) ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા મેળવો.

જો \( \int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}} d x=\frac{\alpha \pi^{3}}{1+4 \pi^{2}}, \alpha \in R\) આપેલ છે  કે જ્યાં \([x]\) મહતમ પૃણાંક વિધેય છે તો \(\alpha\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}} \\ 
  {{{(a + \lambda )}^2}}&{{{(b + \lambda )}^2}}&{{{(c + \lambda )}^2}} \\ 
  {{{(a - \lambda )}^2}}&{{{(b - \lambda )}^2}}&{{{(c - \lambda )}^2}} 
\end{array}} \right|\) \( = \,k\lambda \,\,\left| {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}
  {{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}} \\
  a&b&c \\
  1&1&1
\end{array}} \right|,\lambda \, \ne \,0\) તો \(k\) મેળવો.

ધારો કે
\(\mathrm{f}(x)=\left\{\begin{array}{lc}3 x, & x \lt 0 \\ \min \{1+x+[x], x+2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x\gt2,\end{array}\right.\)
જ્યાં [.] મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો \(\alpha\) અને \(\beta\) એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય, જ્યાં f અનુક્રમે સતત નથી અને વિકલનીય નથી, તો \(\alpha+\beta\) = ___

\(2 \sin(\frac{\pi}{8}) \sin (\frac{2 \pi}{8}) \sin (\frac{3 \pi}{8}) \sin (\frac{5 \pi}{8}) \sin (\frac{6 \pi}{8}) \sin (\frac{7 \pi}{8})\)  ની કિમંત મેળવો.