निम्नलिखित में से कौन सी समीकरण प्रगामी तरंग का निरूपण करती है?

एक गेंद ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर \(150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) के प्रारम्भिक वेग से फेंकी जाती है। \(3 \mathrm{~s}\) एवं \(5 \mathrm{~s}\) के बाद इसके वेगों का अनुपात \(\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}\) है। \(\mathrm{x}\) का मान___________है (यदि, \(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\) ).

\(3-\)विमा में इलेक्ट्रान की एक आदर्श गैस का ताप \(300\; K\) है। \(300\; K\) पर इलेक्ट्रान की डी一ब्रागली तरंगदैर्ध्य का लगभग मान है। \(\left[ m _{ e }=\right.\) इलेक्ट्रान का द्रव्यमान \(=9 \times 10^{-31} \;kg\) \(h =\) प्लांक नियतांक \(=6.6 \times 10^{-34}\; Js\) \(k _{ B }=\) बोल्टजमैन नियतांक \(=1.38 \times 10^{-23} \;JK ^{-1}\) ]

\(M\) द्रव्यमान का एक पिस्टन एक द्रव्यमान रहित स्प्रिंग से लटका हुआ है जिसका प्रत्यानयन बल नियम \(\mathrm{F}=-\mathrm{kx}^3\) है, जहाँ k उपयुक्त विमा का स्प्रिंग नियतांक है। पिस्टन ऊर्ध्वाधर कक्ष को दो भागों में विभाजित करता है, जिसमें निचला भाग ' \(n\) ' मोल आदर्श गैस से भरा है। कक्ष के निचले भाग में लगे एक तापन तंतु (नगण्य आयतन वाले) की सहायता से गैस पर समतापी रूप से (स्थिर तापमान T पर) एक बाह्य कार्य किया जाता है, जिससे पिस्टन \(\mathrm{L}_0\) ऊँचाई से \(\mathrm{L}_1\) ऊँचाई तक ऊपर जाता है, तंतु द्वारा दी गई कुल ऊर्जा कितनी है? (मान लीजिए कि गर्म करने से पहले स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई में है)

त्रिज्या \(R\) का एक गोलीय अपवर्तक पृष्ठ दो माध्यमों को पृथक करता है जिनके अपवर्तनांक क्रमशः \(1\) और \(1.4\) हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दर्शाया गया है। एक बिंदु स्रोत को गोलीय अपवर्तक पृष्ठ के सामने \(4R\) की दूरी पर रखा गया है। बिंदु स्रोत के प्रतिबिंब के आवर्धन का परिमाण _______ है।

\(m\) द्रव्यमान का एक कण बल स्थिरांक \(k\) एवं अतानित लम्बाई \(\ell\) वाली एक हल्की कमानी (spring) के एक छोर से जुड़ा हुआ है। कमानी का दूसरा छोर बद्ध है। इस निकाय को कोणीय गति \(\omega\) देकर कमानी के बद्धछोर के चारों ओर घुमाया जाता है और यह कण गुरूत्वाकर्षण मुक्त क्षेत्र में एक वृत्त में घूमने लगता है। इस स्थिति में कमानी में होने वाला खिंचाव है।

एक ऊष्मारोधी प्रक्रिया में एक आदर्श गैस का आयतन दोगुना हो जाता है। इसके कारण उसके अणुओं में होने वाली टक्करों का औसत समय \(\tau_{1}\) से बदलकर \(\tau_{2}\) हो जाता है। यदि इस गैस के लिये \(\frac{ C _{ p }}{ C _{ w }}=\gamma\) तो \(\frac{\tau_{2}}{\tau_{1}}\) के लिये एक उत्तम आंकलन है।

किसी पदार्थ का पॉइसन अनुपात \(0.50\) है। यदि इसकी एक समान छड़ में अनुदैध्र्य विकृति \(2 \times {10^{ - 3}}\) है, तो आयतन में प्रतिशत परिवर्तन है

प्रतिरोध \(50\) ओम वाले एक गेल्वेनोमीटर में \(25\) भाग है जब इससे \(4 \times 10^{-4}\, A\) धारा प्रवाहित होती है तो इसकी सुई (पाईन्टर) एक भाग विक्षेप दर्शाती है। इस गेल्वेनोमीटर को \(2.5\, V\) परास वाले वोल्टमीटर के रूप में प्रयुक्त करने के लिये इससे जोड़ा जाने वाला प्रतिरोध \(........\,ohm\) होगा।

कोई भूस्थैतिक उपग्रह किसी स्वेच्छ ग्रह ' \(P\) ' के पष्ठ से \(11 R\) की ऊँचाई, यहाँ \(R\) ग्रह \(P\) की त्रिज्या है, पर कक्षा में ग्रह \(P\) की परिक्रमा कर रहा है। ग्रह \(P\) के पष्ठ से \(2 R\) की ऊँचाई पर, कक्षा में ग्रह \(P\) की परिक्रमा करने वाले, किसी अन्य उपग्रह का घन्टों में आवर्तकाल होगा \(......\,P\) का आवर्तकाल \(24\) घंटे है।

न्यूटन के शीतलन नियम का पालन करती हुई एक गर्म वस्तु अपने शीर्ष तापमान \(80^{\circ} C\) से परिवेश तापमान \(30^{\circ} C\) तक ठंडी होती है। यह \(80^{\circ} C\) से \(40^{\circ} C\) तक ठंडा होने में \(5\) मिनट लेती है। यह \(62^{\circ} C\) से \(32^{\circ} C\) तक ठंडा होने में कितना समय \(\dots\) मिनट लेगी ? (दिया है \(\ln 2=0.693, \ln 5=1.609\) )